Python面试宝典第16题：跳跃游戏

题目

给你一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的第一个下标，数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达最后一个下标，如果可以，返回 true。否则，返回 false。

示例 1：

输入：nums = [2, 3, 1, 1, 4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。

示例 2：

输入：nums = [3, 2, 1, 0, 4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0，所以永远不可能到达最后一个下标。

动态规划法

使用动态规划法求解本题的基本思路为：从数组的末尾开始向前计算，看是否能够从某个位置跳到最终位置。具体而言，我们定义一个布尔型数组dp，其中dp[i]表示是否可以从位置 i 跳跃到达数组的最后一个位置。根据题目要求，我们的目标是确定dp[0]是否为True。使用动态规划法求解本题的主要步骤如下。

1、初始化。由于最后一个位置不需要跳跃即可到达，所以 dp[-1] = True。

2、从后向前遍历。对于数组中的每个位置 i，从倒数第二个位置开始向前遍历至第一个位置，检查每个位置 i 能否通过它所能到达的下一个位置 j（满足 j + nums[j] >= i）间接到达终点。如果存在这样的 j 且 dp[j] 为 True，则设置 dp[i] = True。

3、结果判断。遍历完成后，dp[0] 的值即为所求。如果为 True，说明可以从第一个位置跳到最后一个位置，反之则不能。

根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

def jump_game_by_dp(nums):n = len(nums)# 初始化 dp 数组，最后一个位置设为 Truedp = [False] * ndp[n - 1] = True# 从倒数第二个位置开始向前遍历for i in range(n - 2, -1, -1):# 检查当前位置能否通过后续位置跳转到达终点max_reach = min(i + nums[i], n - 1)for j in range(i + 1, max_reach + 1):# 如果后续某个位置可达终点，则当前位置也可达if dp[j]:dp[i] = Truebreakreturn dp[0]nums = [2, 3, 1, 1, 4]
print(jump_game_by_dp(nums))
nums = [3, 2, 1, 0, 4]
print(jump_game_by_dp(nums))

贪心算法

本题单纯采用贪心算法，并不能求得最优解。但可以采用贪心+最远可达更新算法，其基本思想是：维护一个变量来记录当前能到达的最远位置，然后逐步推进，确保每一步都能保持在“最远可达”范围内，直到覆盖整个数组或发现无法到达更远的地方。使用贪心+最远可达更新算法求解本题的主要步骤如下。

1、初始化。设置两个变量：maxReach初始化为第一个元素的值，表示当前能跳到的最远位置；curEnd初始化也为第一个元素的值，表示当前遍历的最远边界。

2、遍历与更新。遍历数组，对于每个位置 i，如果 i 在curEnd之内，尝试更新maxReach为当前位置 i 加上其数值nums[i]和当前maxReach中的较大值。这样，maxReach一直保持为当前位置可达的最远边界。当 i 等于curEnd时，说明已经探索完当前可达区域，此时将curEnd更新为maxReach的值，继续探索。

3、判断结果。如果在遍历过程中，maxReach能够超过或到达数组的最后一个索引，说明可以到达终点。否则，不能到达。

根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

def jump_game_greedy(nums):n = len(nums)# 初始化最远可达位置和当前边界maxReach = curEnd = 0for i in range(n):# 如果当前位置超过了当前边界，无法继续前进if i > curEnd:return False# 更新最远可达位置maxReach = max(maxReach, i + nums[i])# 当前边界已经达到或超过了最远可达位置，移动边界if i == curEnd:curEnd = maxReach# 如果最远可达位置能够覆盖最后一个元素，说明可以到达终点return Truenums = [2, 3, 1, 1, 4]
print(jump_game_greedy(nums))
nums = [3, 2, 1, 0, 4]
print(jump_game_greedy(nums))