图、图的遍历、最小生成树、最短路径

0、图的概念

**图:**是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：

顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
边的集合E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path表示从x到y的一条单向通路，即Path 是有方向的。
**顶点和边：**图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
**有向图和无向图：**在有向图中，顶点对<x,y>是有序的，顶点对<x,y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x,y>和<y,x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y) 称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y,x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x,y>和<y,x>。

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。
邻接顶点**：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点**，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边与顶点u和顶点v相关联。
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1 ，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到 vi的路径，则称此图是强连通图。
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

1、如何存储图

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

1-1、邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。
邻接矩阵存储无向图
邻接矩阵存储有向图
注意：

无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。
邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。

public class Constant {public static final int MAX = Integer.MAX_VALUE;
}

package org.example.graph;import org.example.unionfindset.UnionFindSet;import java.util.*;/*** @Author 12629* @Description： 使用邻接矩阵来存储图*/
public class GraphByMatrix {private char[] arrayV;//顶点数组private int[][] matrix;//矩阵private boolean isDirect;//是否是有向图/*** 此时* @param size 代表当前顶点的个数* @param isDirect*/public GraphByMatrix(int size,boolean isDirect) {this.arrayV = new char[size];matrix = new int[size][size];for (int i = 0; i < size; i++) {Arrays.fill(matrix[i],Constant.MAX);}this.isDirect = isDirect;}public void initArrayV(char[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {arrayV[i] = array[i];}}/**** @param srcV 起点* @param destV 终点* @param weight 权值*/public void addEdge(char srcV,char destV,int weight) {int srcIndex = getIndexOfV(srcV);int destIndex = getIndexOfV(destV);matrix[srcIndex][destIndex] = weight;//如果是无向图 那么相反的位置 也同样需要置为空if(!isDirect) {matrix[destIndex][srcIndex] = weight;}}/*** 获取顶点V的下标* @param v* @return*/private int getIndexOfV(char v) {for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(arrayV[i] == v) {return i;}}return -1;}/*** 获取顶点的度：有向图 = 入度+出度* @param v* @return*/public int getDevOfV(char v) {int count = 0;int srcIndex = getIndexOfV(v);for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX) {count++;}}//计算有向图的入度if(isDirect) {for (int i = 0; i <  arrayV.length; i++) {if(matrix[i][srcIndex] != Constant.MAX) {count++;}}}return count;}public void printGraph() {for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {System.out.print(arrayV[i]+" ");}System.out.println();for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {if(matrix[i][j] == Constant.MAX) {System.out.print("∞ ");}else {System.out.print(matrix[i][j]+" ");}}System.out.println();}}public void bfs(char v) {//1、定义一个visited数组 标记当前这个顶点是不是已经被 访问的boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];//2、定义一个队列，来辅助完成广度优先遍历Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();int srcIndex = getIndexOfV(v);queue.offer(srcIndex);while (!queue.isEmpty()) {int top = queue.poll();System.out.print(arrayV[top]+"->");visited[top] = true;//每次弹出一个元素 就置为truefor (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(matrix[top][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {queue.offer(i);visited[i] = true;}}}}/*** 深度优先遍历* @param v*/public void dfs(char v) {boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];int srcIndex = getIndexOfV(v);dfsChild(srcIndex,visited);}private void dfsChild(int srcIndex,boolean[] visited) {System.out.print(arrayV[srcIndex]+"->");visited[srcIndex] = true;for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {dfsChild(i,visited);}}}/*** 定义了一个边的抽象类*/static class Edge {public int srcIndex;public int destIndex;public int weight;//权重public Edge(int srcIndex, int destIndex, int weight) {this.srcIndex = srcIndex;this.destIndex = destIndex;this.weight = weight;}}/*** 克鲁斯卡尔算法 实现* @param minTree* @return*/public int kruskal(GraphByMatrix minTree) {//1、定义一个优先级队列 用来存储边PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {@Overridepublic int compare(Edge o1, Edge o2) {return o1.weight - o2.weight;}});int n = arrayV.length;//顶点的个数//2. 遍历邻接矩阵，把所有的边，放到优先级队列当中for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(i < j && matrix[i][j] != Constant.MAX) {minQ.offer(new Edge(i,j,matrix[i][j]));}}}UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n);//3、开始从 优先级队列当中 取边int size = 0;int totalWight = 0;while (size < n-1 && !minQ.isEmpty()) {Edge edge = minQ.poll();int srcIndex = edge.srcIndex;int destIndex = edge.destIndex;if(!ufs.isSameUnionFindSet(srcIndex,destIndex)) {//添加到最小生成树当中minTree.addEdgeUseIndex(srcIndex,destIndex,matrix[srcIndex][destIndex]);System.out.println("选择的边："+arrayV[srcIndex]+"->"+arrayV[destIndex]+":"+matrix[srcIndex][destIndex]);size++;//记录添加的边的条数totalWight+= matrix[srcIndex][destIndex];//记录最小生成树的 权值ufs.union(srcIndex,destIndex);}}if(size == n-1) {return totalWight;}else {return -1;//没有最小生成树}}private void addEdgeUseIndex(int srcIndex,int destIndex,int weight) {matrix[srcIndex][destIndex] = weight;//如果是无向图 那么相反的位置 也同样需要置为空if(!isDirect) {matrix[destIndex][srcIndex] = weight;}}public static void testGraphMinTree() {String str = "abcdefghi";char[] array =str.toCharArray();GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),false);g.initArrayV(array);g.addEdge('a', 'b', 4);g.addEdge('a', 'h', 8);//g.addEdge('a', 'h', 9);g.addEdge('b', 'c', 8);g.addEdge('b', 'h', 11);g.addEdge('c', 'i', 2);g.addEdge('c', 'f', 4);g.addEdge('c', 'd', 7);g.addEdge('d', 'f', 14);g.addEdge('d', 'e', 9);g.addEdge('e', 'f', 10);g.addEdge('f', 'g', 2);g.addEdge('g', 'h', 1);g.addEdge('g', 'i', 6);g.addEdge('h', 'i', 7);GraphByMatrix  kminTree = new GraphByMatrix(str.length(),false);System.out.println(g.kruskal(kminTree));kminTree.printGraph();}//起点public int prim(GraphByMatrix minTree,char chV) {int srcIndex = getIndexOfV(chV);//存储已经确定的点Set<Integer> setX = new HashSet<>();//先把确定的顶点放到集合当中setX.add(srcIndex);//初始化Y集合 ，存储的是 未确定的顶点Set<Integer> setY = new HashSet<>();int n = arrayV.length;for (int i = 0; i < n; i++) {if(i != srcIndex) {setY.add(i);}}//定义一个优先级队列PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {@Overridepublic int compare(Edge o1, Edge o2) {return o1.weight - o2.weight;}});//遍历srcIndex连接出去的所边for (int i = 0; i < n; i++) {if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX) {minQ.offer(new Edge(srcIndex,i,matrix[srcIndex][i]));}}int size = 0;int totalWeight = 0;//遍历优先级队列，取出n-1条边while (!minQ.isEmpty()) {Edge min = minQ.poll();int srcI = min.srcIndex;int desT = min.destIndex;if(setX.contains(desT)) {//构成环System.out.println("构成环的边："+arrayV[srcI]+"->"+arrayV[desT]+":"+matrix[srcI][desT]);}else {minTree.addEdgeUseIndex(srcI,desT,min.weight);System.out.println("选择的边："+arrayV[srcI]+"->"+arrayV[desT]+":"+matrix[srcI][desT]);totalWeight += min.weight;size++;if(size == n-1) {return totalWeight;}//更新两个集合的setX.add(desT);setY.remove(desT);//把destI连接出去的所有边，也放到优先级队列当中for (int i = 0; i < n; i++) {if(matrix[desT][i] != Constant.MAX && !setX.contains(i)) {minQ.offer(new Edge(desT,i,matrix[desT][i]));}}}}return -1;}public static void testGraphMinTreePrim() {String str = "abcdefghi";char[] array =str.toCharArray();GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),false);g.initArrayV(array);g.addEdge('a', 'b', 4);g.addEdge('a', 'h', 8);//g.addEdge('a', 'h', 9);g.addEdge('b', 'c', 8);g.addEdge('b', 'h', 11);g.addEdge('c', 'i', 2);g.addEdge('c', 'f', 4);g.addEdge('c', 'd', 7);g.addEdge('d', 'f', 14);g.addEdge('d', 'e', 9);g.addEdge('e', 'f', 10);g.addEdge('f', 'g', 2);g.addEdge('g', 'h', 1);g.addEdge('g', 'i', 6);g.addEdge('h', 'i', 7);GraphByMatrix  primTree = new GraphByMatrix(str.length(),false);System.out.println(g.prim(primTree,'a'));primTree.printGraph();}/**** @param vSrc 指定的起点* @param dist 距离数组* @param pPath 路径*/public void dijkstra(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);//距离数据初始化Arrays.fill(dist,Constant.MAX);dist[srcIndex] = 0;//路径数组初始化Arrays.fill(pPath,-1);pPath[srcIndex] = 0;//当前顶点是否被访问过？int n = arrayV.length;boolean[] s = new boolean[n];//n个顶点,要更新n次，每次都要从0下标开始，找到一个最小值for (int k = 0; k < n; k++) {int min = Constant.MAX;int u = srcIndex;for (int i = 0; i < n; i++) {if(s[i] == false && dist[i] < min) {min = dist[i];u = i;//更新u下标}}s[u] = true;//u:s//松弛u连接出去的所有的顶点 vfor (int v = 0; v < n; v++) {if(s[v] == false && matrix[u][v] != Constant.MAX&& dist[u] + matrix[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + matrix[u][v];pPath[v] = u;//更新当前的路径}}}}public void printShortPath(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);int n = arrayV.length;for (int i = 0; i < n; i++) {//i下标正好是起点  则不进行路径的打印if(i != srcIndex) {ArrayList<Integer> path = new ArrayList<>();int pathI = i;while (pathI != srcIndex) {path.add(pathI);pathI = pPath[pathI];}path.add(srcIndex);Collections.reverse(path);for (int pos : path) {System.out.print(arrayV[pos]+" -> ");}System.out.println(dist[i]);}}}public static void testGraphDijkstra() {/*String str = "syztx";char[] array = str.toCharArray();GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);g.initArrayV(array);g.addEdge('s', 't', 10);g.addEdge('s', 'y', 5);g.addEdge('y', 't', 3);g.addEdge('y', 'x', 9);g.addEdge('y', 'z', 2);g.addEdge('z', 's', 7);g.addEdge('z', 'x', 6);g.addEdge('t', 'y', 2);g.addEdge('t', 'x', 1);g.addEdge('x', 'z', 4);*//*搞不定负权值*/String str = "sytx";char[] array = str.toCharArray();GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);g.initArrayV(array);g.addEdge('s', 't', 10);g.addEdge('s', 'y', 5);g.addEdge('t', 'y', -7);g.addEdge('y', 'x', 3);int[] dist = new int[array.length];int[] parentPath = new int[array.length];g.dijkstra('s', dist, parentPath);System.out.println("dasfa");g.printShortPath('s', dist, parentPath);}public boolean bellmanFord(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);//距离数据初始化Arrays.fill(dist,Constant.MAX);dist[srcIndex] = 0;//路径数组初始化Arrays.fill(pPath,-1);pPath[srcIndex] = 0;int n = arrayV.length;for (int k = 0; k < n; k++) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(matrix[i][j] != Constant.MAX &&dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {dist[j] = dist[i] + matrix[i][j];pPath[j] = i;}}}}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(matrix[i][j] != Constant.MAX &&dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {return false;}}}return true;}public static void testGraphBellmanFord() {String str = "syztx";char[] array = str.toCharArray();GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);g.initArrayV(array);g.addEdge('s', 't', 6);g.addEdge('s', 'y', 7);g.addEdge('y', 'z', 9);g.addEdge('y', 'x', -3);g.addEdge('z', 's', 2);g.addEdge('z', 'x', 7);g.addEdge('t', 'x', 5);g.addEdge('t', 'y', 8);g.addEdge('t', 'z', -4);g.addEdge('x', 't', -2);//负权回路实例/* g.addEdge('s', 't', 6);g.addEdge('s', 'y', 7);g.addEdge('y', 'z', 9);g.addEdge('y', 'x', -3);g.addEdge('y', 's', 1);g.addEdge('z', 's', 2);g.addEdge('z', 'x', 7);g.addEdge('t', 'x', 5);g.addEdge('t', 'y', -8);g.addEdge('t', 'z', -4);g.addEdge('x', 't', -2);*/int[] dist = new int[array.length];int[] parentPath = new int[array.length];boolean flg = g.bellmanFord('s', dist, parentPath);if(flg) {g.printShortPath('s', dist, parentPath);}else {System.out.println("存在负权回路");}}public void floydWarShall(int[][] dist,int[][] pPath) {int n = arrayV.length;for (int i = 0; i < n; i++) {Arrays.fill(dist[i],Constant.MAX);Arrays.fill(pPath[i],-1);}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(matrix[i][j] != Constant.MAX) {dist[i][j] = matrix[i][j];pPath[i][j] = i;}else {pPath[i][j] = -1;}if(i == j) {dist[i][j] = 0;pPath[i][j] = -1;}}}for (int k = 0; k < n; k++) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(dist[i][k] != Constant.MAX &&dist[k][j] != Constant.MAX &&dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];//更新父节点下标//pPath[i][j] = k;//不对//如果经过了 i->k  k->j  此时是k//i->x->s->k   k->..t->...x->jpPath[i][j] = pPath[k][j];}}}// 测试 打印权值和路径矩阵观察数据for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(dist[i][j] == Constant.MAX) {System.out.print(" * ");}else{System.out.print(dist[i][j]+" ");}}System.out.println();}System.out.println("=========打印路径==========");for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.print(pPath[i][j]+" ");}System.out.println();}System.out.println("=================");}}public static void testGraphFloydWarShall() {String str = "12345";char[] array = str.toCharArray();GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);g.initArrayV(array);g.addEdge('1', '2', 3);g.addEdge('1', '3', 8);g.addEdge('1', '5', -4);g.addEdge('2', '4', 1);g.addEdge('2', '5', 7);g.addEdge('3', '2', 4);g.addEdge('4', '1', 2);g.addEdge('4', '3', -5);g.addEdge('5', '4', 6);int[][] dist = new int[array.length][array.length];int[][] parentPath = new int[array.length][array.length];g.floydWarShall(dist,parentPath);for (int i = 0; i < array.length; i++) {g.printShortPath(array[i],dist[i],parentPath[i]);System.out.println("************************");}}public static void main(String[] args) {testGraphFloydWarShall();}public static void main1(String[] args) {GraphByMatrix graph = new GraphByMatrix(4,false);char[] array = {'A','B','C','D'};graph.initArrayV(array);graph.addEdge('A','B',1);graph.addEdge('A','D',1);graph.addEdge('B','A',1);graph.addEdge('B','C',1);graph.addEdge('C','B',1);graph.addEdge('C','D',1);graph.addEdge('D','A',1);graph.addEdge('D','C',1);//graph.bfs('B');graph.dfs('B');//graph.printGraph();//System.out.println(graph.getDevOfV('A'));}}

1-2、邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。
邻接表存储无向图
注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。
邻接表存储有向图
注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst 取值是i。

public class Constant {public static final int MAX = Integer.MAX_VALUE;
}

package org.example.graph;import java.util.ArrayList;public class GraphByNode {static class Node {public int src;//起始位置public int dest;//目标位置public int weight;//权重public Node next;public Node(int src, int dest, int weight) {this.src = src;this.dest = dest;this.weight = weight;}}public char[] arrayV;public ArrayList<Node> edgList;//存储边public boolean isDirect;public GraphByNode(int size,boolean isDirect) {this.arrayV = new char[size];edgList = new ArrayList<>(size);for (int i = 0; i < size; i++) {edgList.add(null);}this.isDirect = isDirect;}/*** 初始化顶点数组* @param array*/public void initArrayV(char[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {arrayV[i] = array[i];}}/*** 添加边* @param srcV* @param destV* @param weight*/public void addEdge(char srcV,char destV,int weight) {int srcIndex = getIndexOfV(srcV);int destIndex = getIndexOfV(destV);addEdgeChild(srcIndex,destIndex,weight);//无向图 需要添加两条边if(!isDirect) {addEdgeChild(destIndex,srcIndex,weight);}}private void addEdgeChild (int srcIndex , int destIndex,int weight) {//这里拿到是头节点Node cur = edgList.get(srcIndex);while (cur != null) {if(cur.dest == destIndex) {return;}cur = cur.next;}//之前没有存储过这条边Node node = new Node(srcIndex,destIndex,weight);node.next = edgList.get(srcIndex);edgList.set(srcIndex,node);}private int getIndexOfV(char v) {for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(arrayV[i] == v) {return i;}}return -1;}public void printGraph() {for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {System.out.print(arrayV[i]+"->");Node cur = edgList.get(i);while (cur != null) {System.out.print(arrayV[cur.dest]+" ->");cur = cur.next;}System.out.println();}}/*** 获取顶点的度* @param v* @return*/public int getDevOfV(char v) {int count = 0;int srcIndex = getIndexOfV(v);Node cur = edgList.get(srcIndex);while (cur != null) {count++;cur = cur.next;}//只是计算了出度if(isDirect) {int destIndex = srcIndex;for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(i == destIndex) {continue;}else {Node pCur = edgList.get(i);while (pCur != null) {if(pCur.dest == destIndex) {count++;}pCur = pCur.next;}}}}return count;}public static void main(String[] args) {GraphByNode graph = new GraphByNode(4,true);char[] array = {'A','B','C','D'};graph.initArrayV(array);graph.addEdge('A','B',1);graph.addEdge('A','D',1);graph.addEdge('B','A',1);graph.addEdge('B','C',1);graph.addEdge('C','B',1);graph.addEdge('C','D',1);graph.addEdge('D','A',1);graph.addEdge('D','C',1);System.out.println("getDevOfV:: "+graph.getDevOfV('A'));graph.printGraph();}}

2、图的遍历

给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。请思考树以前是怎么遍历的，此处可以直接用来遍历图吗？为什么？

2-1、图的广度优先遍历（层序遍历）

比如现在要找东西，假设有三个抽屉，东西在那个抽屉不清楚，现在要将其找到，广度优先遍历的做法是:

先将三个抽屉打开，在最外层找一遍。
将每个抽屉中红色的盒子打开，再找一遍。
将红色盒子中绿色盒子打开，再找一遍。

直到找完所有的盒子，注意:每个盒子只能找一次，不能重复找。

public void bfs(char v) {
//1、定义一个visited数组 标记当前这个顶点是不是已经被 访问的
boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];
//2、定义一个队列，来辅助完成广度优先遍历
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
int srcIndex = getIndexOfV(v);
queue.offer(srcIndex);
while (!queue.isEmpty()) {int top = queue.poll();System.out.print(arrayV[top]+"->");visited[top] = true;//每次弹出一个元素 就置为truefor (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(matrix[top][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {queue.offer(i);visited[i] = true;}}
}
}

2-2、图的深度优先遍历

比如现在要找东西，假设有三个抽屉，东西在那个抽不清楚，现在要将其找到，广度优先遍历的做法是:

先将第一个抽屉打开，在最外层找一遍
将第一个抽屉中红盒子打开，在红盒子中找一遍
将红盒子中绿盒子打开，在绿盒子中找一遍
递归查找剩余的两个盒子

深度优先遍历:将一个抽屉一次性遍历完(包括该抽屉中包含的小盒子)，再去递归遍历其他盒子

public void dfs(char v) {
boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];
int srcIndex = getIndexOfV(v);
dfsChild(srcIndex,visited);}private void dfsChild(int srcIndex,boolean[] visited) {System.out.print(arrayV[srcIndex]+"->");visited[srcIndex] = true;for (int i = 0; i < arrayV.length; i++) {if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {dfsChild(i,visited);}}
}

3、图的最小生成树

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：**从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。 **
**若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。**因此构造最小生成树的准则有三条：

只能使用图中的边来构造最小生成树。
只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点。
选用的n-1条边不能构成回路。

构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。

3-1、Kruskal算法

Kruskal算法是一种用于查找图的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的贪心算法。最小生成树是连接图中所有顶点的边的集合，并且这些边的总权重最小，同时还要保证这些顶点是连通的。Kruskal算法的基本思想是按照边的权重从小到大的顺序选择边，但是要保证加上这条边后不会导致图中出现环。Kruskal算法的步骤如下：

排序：将图中的所有边按照权重从小到大排序。
初始化：创建一个空的边集合，用于存放最终的最小生成树的边。
遍历：按照排序后的顺序，依次考虑每条边。
- 如果加入这条边后不会导致图中出现环，则将这条边加入到最小生成树的边集合中。
检查环：可以使用并查集（Union-Find）数据结构来快速判断加入一条边是否会导致环的产生。
结束条件：当边集合中的边数等于图中顶点数减一时，或者所有边都被考虑过时，算法结束。

Kruskal算法的时间复杂度主要取决于边的排序和并查集的操作。如果使用优先队列（例如最小堆）来排序边，时间复杂度为O(E log E)，其中E是边的数量。并查集的操作（查找和合并）的时间复杂度为O(α(N))，其中N是顶点数，α是阿克曼函数的反函数，通常认为α(N)的增长速度非常慢，对于实际问题可以近似认为是常数。
Kruskal算法适用于边稠密的图，因为它首先考虑的是边的权重，而不是顶点的连接情况。与之相对的是Prim算法，它是一种基于顶点的贪心算法，适用于顶点稠密的图。
Kruskal算法流程图

总结：每次寻找全局最小的不构成环的边。
两个问题：
1、如何找到最小的边：优先级队列（小根堆）。
2、如何判断是否成环：使用并查集判断两个节点是否在同一个集合里面，这条边的两个点在同一个集合里面，就说明加上这条边就会成环。

public int kruskal(GraphByMatrix minTree) {
//1、定义一个优先级队列 用来存储边
PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {@Overridepublic int compare(Edge o1, Edge o2) {return o1.weight - o2.weight;}
});int n = arrayV.length;//顶点的个数
//2. 遍历邻接矩阵，把所有的边，放到优先级队列当中
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(i < j && matrix[i][j] != Constant.MAX) {minQ.offer(new Edge(i,j,matrix[i][j]));}}
}
UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n);
//3、开始从 优先级队列当中 取边
int size = 0;
int totalWight = 0;
while (size < n-1 && !minQ.isEmpty()) {Edge edge = minQ.poll();int srcIndex = edge.srcIndex;int destIndex = edge.destIndex;if(!ufs.isSameUnionFindSet(srcIndex,destIndex)) {//添加到最小生成树当中minTree.addEdgeUseIndex(srcIndex,destIndex,matrix[srcIndex][destIndex]);System.out.println("选择的边："+arrayV[srcIndex]+"->"+arrayV[destIndex]+":"+matrix[srcIndex][destIndex]);size++;//记录添加的边的条数totalWight+= matrix[srcIndex][destIndex];//记录最小生成树的 权值ufs.union(srcIndex,destIndex);}
}if(size == n-1) {return totalWight;
}else {return -1;//没有最小生成树
}
}private void addEdgeUseIndex(int srcIndex,int destIndex,int weight) {matrix[srcIndex][destIndex] = weight;//如果是无向图 那么相反的位置 也同样需要置为空if(!isDirect) {matrix[destIndex][srcIndex] = weight;}
}

import java.util.Arrays;public class UnionFindSet {public int[] elem;public UnionFindSet(int n) {this.elem = new int[n];Arrays.fill(elem,-1);}/*** 查找数据x 的根节点* @param x* @return 下标*/public int findRoot(int x) {if(x < 0) {throw new IndexOutOfBoundsException("下标不合法，是负数");}while (elem[x] >= 0 ) {x = elem[x];//1  0}return x;}/*** 查询x1 和 x2 是不是同一个集合* @param x1* @param x2* @return*/public boolean isSameUnionFindSet(int x1,int x2) {int index1 = findRoot(x1);int index2 = findRoot(x2);if(index1 == index2) {return true;}return false;}/*** 这是合并操作* @param x1* @param x2*/public void union(int x1,int x2) {int index1 = findRoot(x1);int index2 = findRoot(x2);if(index1 == index2) {return;}elem[index1] = elem[index1] + elem[index2];elem[index2] = index1;}public int getCount() {int count = 0;for (int x : elem) {if(x <  0) {count++;}}return count;}public void print() {for (int x : elem) {System.out.print(x+" ");}System.out.println();}//省份的数量public int findCircleNum(int[][] isConnected) {int n = isConnected.length;UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n);for(int i = 0;i < isConnected.length;i++) {for(int j = 0;j < isConnected[i].length;j++) {if(isConnected[i][j] == 1) {ufs.union(i,j);}}}return ufs.getCount();}//等式的满足性public boolean equationsPossible(String[] equations) {UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(26);for(int i = 0; i < equations.length;i++) {if(equations[i].charAt(1) == '=') {ufs.union(equations[i].charAt(0)-'a',equations[i].charAt(3)-'a');}}for(int i = 0; i < equations.length;i++) {if(equations[i].charAt(1) == '!') {int index1 = ufs.findRoot(equations[i].charAt(0)-'a');int index2 = ufs.findRoot(equations[i].charAt(3)-'a');if(index1 == index2) {return false;}}}return true;}public static void main(String[] args) {String[] str = {"a==b","b!=a"};//equationsPossible(str);}//亲戚题public static void main2(String[] args) {int n = 10;int m = 3;int p = 2;UnionFindSet unionFindSet = new UnionFindSet(n);System.out.println("合并：0和6：");unionFindSet.union(0,6);unionFindSet.union(0,1);System.out.println("合并：3和7：");unionFindSet.union(3,7);System.out.println("合并：4和8：");unionFindSet.union(4,8);System.out.println("以下是不是亲戚：");boolean flg = unionFindSet.isSameUnionFindSet(1,8);if(flg) {System.out.println("是亲戚！");}else {System.out.println("不是亲戚！");}System.out.println("当亲的亲戚关系 "+unionFindSet.getCount()+" 对！");}public static void main1(String[] args) {UnionFindSet unionFindSet = new UnionFindSet(10);System.out.println("合并：0和6：");unionFindSet.union(0,6);System.out.println("合并：0和7：");unionFindSet.union(0,7);System.out.println("合并：0和8：");unionFindSet.union(0,8);System.out.println("合并：1和4：");unionFindSet.union(1,4);System.out.println("合并：1和9：");unionFindSet.union(1,9);System.out.println("合并：2和3：");unionFindSet.union(2,3);System.out.println("合并：2和5：");unionFindSet.union(2,5);unionFindSet.print();System.out.println("合并：8和1：");unionFindSet.union(8,1);unionFindSet.print();System.out.println("查找是不是同一个集合");System.out.println(unionFindSet.isSameUnionFindSet(6, 9));System.out.println(unionFindSet.isSameUnionFindSet(8, 2));}
}

3-2、Prim算法

Prim算法是一种用于寻找图的最小生成树（MST）的算法。以下是Prim算法的详细步骤：

选择起始顶点：从图中任意选择一个顶点作为起始点，并将其加入到最小生成树的集合中。
初始化：创建一个优先队列（最小堆），用于存储所有从已选择顶点到未选择顶点的边，以及这些边的权重。
循环：在图中还有未选择的顶点时，重复以下步骤：
- 从优先队列中取出权重最小的边。这条边连接一个已选择的顶点和一个未选择的顶点。
- 将这条边添加到最小生成树中，并将对应的未选择顶点加入到已选择顶点集合中。
- 更新优先队列：将所有从新加入的顶点出发的边加入到优先队列中，如果这些边的另一端顶点还未被选择。
结束条件：当所有顶点都被包含在最小生成树中，或者优先队列变空时，算法结束。

Prim算法的时间复杂度主要取决于优先队列的操作。如果使用普通的优先队列，算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E是边的数量，V是顶点的数量。如果使用斐波那契堆作为优先队列，算法的时间复杂度可以降低到O(E + V log V)。
Prim算法适用于顶点稠密的图，因为它每次都是选择连接到已选择顶点集合的最小边，而不是像Kruskal算法那样选择全局最小的边。这使得Prim算法在顶点数量远大于边的数量时效率更高。

public int prim(GraphByMatrix minTree,char chV) {int srcIndex = getIndexOfV(chV);//存储已经确定的点Set<Integer> setX = new HashSet<>();//先把确定的顶点放到集合当中setX.add(srcIndex);//初始化Y集合 ，存储的是 未确定的顶点Set<Integer> setY = new HashSet<>();int n = arrayV.length;for (int i = 0; i < n; i++) {if(i != srcIndex) {setY.add(i);}}//定义一个优先级队列PriorityQueue<Edge> minQ = new PriorityQueue<>(new Comparator<Edge>() {@Overridepublic int compare(Edge o1, Edge o2) {return o1.weight - o2.weight;}});//遍历srcIndex连接出去的所边for (int i = 0; i < n; i++) {if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX) {minQ.offer(new Edge(srcIndex,i,matrix[srcIndex][i]));}}int size = 0;int totalWeight = 0;//遍历优先级队列，取出n-1条边while (!minQ.isEmpty()) {Edge min = minQ.poll();int srcI = min.srcIndex;int desT = min.destIndex;if(setX.contains(desT)) {//构成环System.out.println("构成环的边："+arrayV[srcI]+"->"+arrayV[desT]+":"+matrix[srcI][desT]);}else {minTree.addEdgeUseIndex(srcI,desT,min.weight);System.out.println("选择的边："+arrayV[srcI]+"->"+arrayV[desT]+":"+matrix[srcI][desT]);totalWeight += min.weight;size++;if(size == n-1) {return totalWeight;}//更新两个集合的setX.add(desT);setY.remove(desT);//把destI连接出去的所有边，也放到优先级队列当中for (int i = 0; i < n; i++) {if(matrix[desT][i] != Constant.MAX && !setX.contains(i)) {minQ.offer(new Edge(desT,i,matrix[desT][i]));}}}}return -1;}

从某一个点开始，局部选择权值最小的不成环的路径，局部选择是指与已选顶点相连的那些边。

两个问题：
如何选怎局部最小边：每加入一个顶点，就将与该顶点相连的边为选怎的边加入到优先级队列中
如何判断环路：并查集。

4、最短路径

最短路径问题：从在带权图的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小。

4-1、单源最短路径–Dijkstra算法

单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径。针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q 中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S 中，对u 的每一个相邻结点v 进行松弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u 的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循环直至集合Q 为空，即所有节点都已经查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法循环后其代价仍为初始设定的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更新，并加入S中，所以该算法使用的是贪心策略。** Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路径的最短路径。 **

第一步初始化，第二步遍历s的出度跟新了到达y、t的最短距离，在第三步中可以选择遍历y的出度，也可以选择遍历t的出度，Dijkstra算法是选择先遍历小的哪一个也就是y顶点。
算法中添加了cheak数组第三步中y顶点已经被遍历过来标记cheak[y]=true;当遍历t的时候就不会在从t走向y了，因为权值都是正数，而刚才在选择先遍历谁的时候就已经说明从s到y比s到t近、说明s经过t在到达y的距离只会更远，所以当cheak[y]被标记后说明s到y的最短路径已经找到了，后续经过别的顶点也可到y顶点的路径不可能会更小了。

public void dijkstra(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);//距离数据初始化Arrays.fill(dist,Constant.MAX);dist[srcIndex] = 0;//路径数组初始化Arrays.fill(pPath,-1);pPath[srcIndex] = 0;//当前顶点是否被访问过？int n = arrayV.length;boolean[] s = new boolean[n];//n个顶点,要更新n次，每次都要从0下标开始，找到一个最小值for (int k = 0; k < n; k++) {int min = Constant.MAX;int u = srcIndex;for (int i = 0; i < n; i++) {if(s[i] == false && dist[i] < min) {min = dist[i];u = i;//更新u下标}}s[u] = true;//u:s//松弛u连接出去的所有的顶点 vfor (int v = 0; v < n; v++) {if(s[v] == false && matrix[u][v] != Constant.MAX&& dist[u] + matrix[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + matrix[u][v];pPath[v] = u;//更新当前的路径}}}
}

public void printShortPath(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);int n = arrayV.length;for (int i = 0; i < n; i++) {//i下标正好是起点  则不进行路径的打印if(i != srcIndex) {ArrayList<Integer> path = new ArrayList<>();int pathI = i;while (pathI != srcIndex) {path.add(pathI);pathI = pPath[pathI];}path.add(srcIndex);Collections.reverse(path);for (int pos : path) {System.out.print(arrayV[pos]+" -> ");}System.out.println(dist[i]);}}
}

4-2、单源最短路径–Bellman-Ford算法

Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法就不能帮助我们解决问题了，而bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新。

该算法计算谋起点到其他顶点的最短距离，如果有负权回路，一直转圈路径和一直减小，这种情况则返回false。如果没有负权回路，返回ture,可以找到每个顶点的最短路径。
如何判断是否有负权回路：在执行一次循环体即可，若有负权回路存在，每次指向循环体相当于围着负权回路绕了一圈，就会有顶点的最短路径更新，此时直接判定为有负权回路存在，返回false，如果循环体执行后没有顶点的最短路径更新，说明从起点到所有顶点的最短路径都已经找了，该图没有负权回路，返回true。

、public boolean bellmanFord(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);//距离数据初始化Arrays.fill(dist,Constant.MAX);dist[srcIndex] = 0;//路径数组初始化Arrays.fill(pPath,-1);pPath[srcIndex] = 0;int n = arrayV.length;for (int k = 0; k < n; k++) {// i，j循环是在遍历说有的边，可以改成双重循环for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(matrix[i][j] != Constant.MAX &&dist[i]!=Constant.MAX &&dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {dist[j] = dist[i] + matrix[i][j];pPath[j] = i;}}}}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(matrix[i][j] != Constant.MAX &&dist[i] + matrix[i][j] < dist[j]) {return false;}}}return true;
}

public class BellmanFord {// 用于表示图中的边static class Edge {int source, dest, weight;Edge(int source, int dest, int weight) {this.source = source;this.dest = dest;this.weight = weight;}}// 执行Bellman-Ford算法static boolean bellmanFord(int V, Edge[] edges, int source) {// 从源点到所有顶点的距离初始化为无穷大，除了源点自身int[] distance = new int[V];for (int i = 0; i < V; i++) {distance[i] = Integer.MAX_VALUE;}distance[source] = 0;// 遍历所有边V-1次for (int i = 1; i < V; i++) {for (Edge edge : edges) {if (distance[edge.source] != Integer.MAX_VALUE &&distance[edge.source] + edge.weight < distance[edge.dest]) {distance[edge.dest] = distance[edge.source] + edge.weight;}}}// 检查是否存在负权重环for (Edge edge : edges) {if (distance[edge.source] != Integer.MAX_VALUE &&distance[edge.source] + edge.weight < distance[edge.dest]) {return false; // 如果可以进一步更新距离，说明存在负权重环}}return true; // 图中不存在负权重环}// 主函数，用于测试Bellman-Ford算法public static void main(String[] args) {int V = 5; // 顶点的数量Edge[] edges = new Edge[] {new Edge(0, 1, -1), new Edge(0, 2, 4),new Edge(1, 2, 3), new Edge(1, 3, 2),new Edge(1, 4, 2), new Edge(3, 1, 1),new Edge(4, 0, 6), new Edge(4, 3, -3)};boolean hasNegativeCycle = bellmanFord(V, edges, 0);if (hasNegativeCycle) {System.out.println("Graph contains a negative weight cycle");} else {System.out.println("Vertex \t Distance from Source");for (int i = 0; i < V; i++) {System.out.println(i + " \t\t " + (Integer.MAX_VALUE == edges[0].distance[i] ? "INF" : edges[0].distance[i]));}}}
}

4-3、多源最短路径–Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法（）。 Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节点。设k是p 的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。

可以滚动数组进行空间优化

填表顺序不重要！填表不漏即可。

public void floydWarShall(int[][] dist,int[][] pPath) {int n = arrayV.length;for (int i = 0; i < n; i++) {Arrays.fill(dist[i],Constant.MAX);Arrays.fill(pPath[i],-1);}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(matrix[i][j] != Constant.MAX) {dist[i][j] = matrix[i][j];pPath[i][j] = i;}else {pPath[i][j] = -1;}if(i == j) {dist[i][j] = 0;pPath[i][j] = -1;}}}for (int k = 0; k < n; k++) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(dist[i][k] != Constant.MAX &&dist[k][j] != Constant.MAX &&dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];//更新父节点下标//pPath[i][j] = k;//不对//如果经过了 i->k  k->j  此时是k//i->x->s->k   k->..t->...x->jpPath[i][j] = pPath[k][j];}}}// 测试 打印权值和路径矩阵观察数据for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if(dist[i][j] == Constant.MAX) {System.out.print(" * ");}else{System.out.print(dist[i][j]+" ");}}System.out.println();}System.out.println("=========打印路径==========");for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {System.out.print(pPath[i][j]+" ");}System.out.println();}System.out.println("=================");}
}