红黑树笔记

2-3树 -> 左倾红黑树

红黑树实际上是2-3树的一种基于BST的实现。普通二叉搜索树（BST）中的每一个节点，只有一个键，两条链接（两个子节点），这种节点被称为2节点。2-3树中，引入了一个3节点的概念，它含有两个键，三条链接。左链接指向的键都小于该节点，中链接指向的键介于该节点的两个键之间，右链接指向的键都大于该节点。同理我们可以构造出4节点、5节点，在这样的树中，空节点到根节点的距离都是相同的，这样的树就是一棵平衡的2-3搜索树。

由于2-3树的新节点插入不是直接插入子节点，而是直接插入临近节点位置，然后判断是否需要拆分节点，拆分后向上合并节点，因此2-3树的生长方向是自底向上的，这也就保证了2-3树始终是平衡的。即使连续插入有序列表，生成出来的2-3树依然是高度平衡的。

节点的分解都在树的局部进行，因此分解操作不会影响树的平衡性和有序性。

2-3树实现的难点在于，它需要额外的数据类型来维护3节点，以及处理失衡的结构时，对不同类型的节点进行频繁的转换。

一种简化2-3树的思路

一种简化2-3树的思路是用2节点替换3节点，同时又能保持树的平衡性。

一棵标准2-3树

拆分3节点并标记左侧节点为红色

就得到了一棵红黑树（左倾红黑树）

左倾红黑树

为了保证红黑树跟2-3树完全等价，我们需要以下定义：

红链接都是左链接
任何节点不会同时和2个红色节点相连

满足这2个条件的红黑树被称为左倾红黑树，它的实现相对标准红黑树更为简单。

红黑树的五条性质

节点是黑色或红色
根节点只能是黑色
所有叶子节点都是黑色（NIL）
不能出现连续的红色节点
任意节点到其每个叶子节点的每条路径都包含相同数量的黑色节点

若根节点为2节点，那其本身就是黑色节点，若根节点为3节点，那么黑色节点就是其中的较大元素，因此根节点总是黑色。

根据2-3树转化到红黑树的过程就可以很直观地看到，不会出现连续的红色节点，即使是基于2-3-4树实现的红黑树，4节点在红黑树中也是表现为一个黑色节点带两个红色子节点，因此一定不会出现连续的红色节点。

根据2-3树转化到红黑树的过程，可以看出红色节点总是依附黑色父节点而存在，因此在红黑树中只有黑色节点才真正贡献高度。2-3树本身具备高度平衡的特点，反映到红黑树中就是黑色节点完美平衡。

什么是4节点？

从结构上来看，简单理解，一个黑色节点带两个红色子节点就可以认为是一个4节点。下图是4节点分解的完整过程。

插入操作的3种情况

左倾红黑树的插入有三种可能的情况

情况1（出现左右两个红色子节点）

插入前黑父左边是红色节点，待插入节点比黑父大，插在了黑父的右边，此时出现右倾红节点。

注意，这种情况对应着2-3树中出现了临时4节点，我们在2-3树中的处理是将这个临时4节点分裂，左右元素各自形成一个2节点，中间元素上升到上层跟父节点结合。所以，我们在红黑树中的动作是，将原本红色的左右儿子染黑（左右分裂），将黑父染红（等待上升结合）。

补充下特殊场景的处理，假设节点9也是红节点，那么就要先对节点9进行左旋，然后对左旋后的节点15的父节点（假设为节点X）进行右旋，并修改节点15为黑色，修改节点X为红色。然后我们就会发现又回到了场景一，之后继续按照情况1的规则继续处理即可。

情况2（左侧出现连续红色子节点）

待插入节点比红父小，且红父本身就是左倾红节点，也就是说，两个红节点靠在左边形成了连续的红节点。

这种情况我们需要用两步来调整。由于我们插入的是红色节点，其实不会破坏黑色完美平衡，所以要注意的是在旋转和染色的过程种继续保持这种完美黑色平衡。
首先对红父的父亲进行一次右旋，这次右旋不会破坏黑色平衡，但是也没有解决连续红色的问题。
接下来将12所在节点与15所在节点交换颜色，这样的目的是为了消除连续红色，并且这个操作依旧维持了黑色平衡。现在我们已经得到了情况1的场景，直接按情况1处理即可。

情况3（出现红色右节点）

待插入元素比红父大，且红父自身就是左倾。也就是说插入的这个节点形成了一个右倾的红色节点，对右倾的处理很简单，将红父进行一次左旋，就能使得右倾红节点变为左倾，现在出现了连续的左倾红节点，直接按情况2处理即可。

在插入时，可以体会到左倾红黑树对于左倾的限制带来的好处，因为在原树符合红黑树定义的情况下，如果父亲是红的，那么它一定左倾，同时也不用考虑可能存在的右倾兄弟（如果有，那说明原树不满足红黑树定义）。

这种限制消除了很多需要考虑的场景，让插入变得更加简单。

删除操作

删除节点要保证2点：不能破坏树的有序性、不能破坏树的平衡性。流程上可以分为2步，第一步向下递归，对红黑树进行预调整，删除目标节点。第二步向上回溯，修复预调整阶段被破坏的红黑树。

如果要删除的节点是红黑树中的中间节点，那么删除节点后树的调整会非常复杂，因为要同时考虑父节点与子节点的情况。有一种简单的方法是，需要删除某个节点时，不直接删除该节点，而是改为删除它的前驱或后继节点，把删除节点的值直接赋值给当前要删除的节点。假设改为删除它的后继节点，那么情况就可以简化为删除叶子节点或者只包含一个子节点的节点，这可以大大简化后续需要执行的操作。

向下递归

我们从根节点出发，基于2-3树的预合并策略对红黑树进行调整。具体的做法是，每次都保证当前的节点是2-3树中的非2节点，如果当前节点已经是非2节点，那么直接跳过；如果当前节点是2节点，那么根据兄弟节点的状况来进行调整：

如果兄弟是2节点，那么从父节点借一个元素给当前节点，然后与兄弟节点一起形成一个临时4节点。
如果兄弟是非2节点，那么兄弟上升一个元素到父节点，同时父节点下降一个元素到当前节点，使得当前节点成为一个3节点。

这样的策略能够保证最后走到待删除节点的时候，它一定是一个非2节点，我们可以直接将其元素删除。

向上回溯

接下来要考虑的是修复工作，由于红黑树定义的限制，我们在调整的过程中出现了一些本不该存在的红色右倾节点（因为生成了概念模型中的临时4节点），于是我们顺着搜索的方向向上回溯，如果遇到当前节点具备右倾的红色儿子，那么对当前节点进行一次左旋，这时原本的右儿子会来到当前节点的位置，然后将右儿子与当前节点交换颜色，我们就将右倾红节点修复成了左倾红节点，同时我们并没有破坏黑色节点的平衡。