裴蜀（贝祖）定理

• 法国数学家艾蒂安·裴蜀，
• 对任何整数a、b和它们的最大公约数d
• 若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数
• 一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

扩展欧几里得求解

• 裴蜀定理得ax₁ + by₁ = gcd(a,b) 和 bx₂+(a%b)y₂ = gcd(b,a%b)
• 欧几里得定理知：gcd(a,b) == gcd(b,a%b)。
• 因而ax₁ + by₁=bx₂+(a%b)y₂
• 模运算性质，有a%b = a - (a/b )* b
• 右边=bx₂ + [ a - (a/b) * b] y₂
• 即ax₁ + by₁==bx₂ + [ a - (a/b) * b] y₂=ay₂ + b[ x₂ - (a/b) y₂];
• 由a、b系数相等的关系得到x₁ = y₂，y₁ = x₂ - a/b*y₂
• 同理，将gcd(a%b,b%(a%b))进行求解，可得x₂ = y₃，y₂ = x₃ - a/b*y₃
  ……
  由展转相除法知，最后得到gcd(t,0)
• 即有tx_n + 0y_n = gcd(t,0)，则有x_n=1，取y_n=0，则为本方程的一组解。
• 再往上逆推x_n-1 = y_n，y_n-1 = x_n - a/b*y_n，得到x_n-1 = 0，y_n-1 =1，最后可求出x₁ 和y₁

递归代码

#include<iostream> 
#include<cstring> 
using namespace std;
//ax+by=gcd(a,b)
int exgcd(int a,int b,int *x,int *y){if(b==0){*x=1;*y=0;	return a;}//	cout<<"记号"<<"*x:"<<*x<<"  *y:"<<*y<<endl;int r=exgcd(b,a%b,x,y);int t=*x;*x=*y;*y=t-a/b* *y;return r;
} 
int main(){int x,y;exgcd(97,127,&x,&y);cout<<x<<","<<y<<endl;return 0;
}