一、逻辑回归概述

逻辑回归是一种常用于分类问题的算法。大家熟悉的线性回归一般形式为 $\mathbf{Y}=\mathbf{aX}+\mathbf{b}$，其输出范围是 $[-\infty ,+\infty ]$。然而，对于分类问题，我们需要将输出结果映射到一个有限的区间，这样才能实现分类。

这时候，我们可以借助一个非线性变换函数，即 Sigmoid 函数。Sigmoid 函数的定义为：
$$\mathbf{S}(\mathbf{Y})=\frac{1}{1+e^{-\mathbf{Y}}}$$
该函数可以将任意实数映射到 $[0,1]$ 区间内。我们可以将线性回归模型的输出 $\mathbf{Y}$ 带入 Sigmoid 函数，得到一个介于 $[0,1]$ 之间的值 $\mathbf{S}$，这个值可以解释为一个概率。

在实际应用中，我们通常将 $\mathbf{S}$ 视为样本属于正类的概率。如果我们设定一个概率阈值，比如 $0.5$，当 $\mathbf{S}$ 大于 $0.5$ 时，我们认为样本属于正类；反之，当 $\mathbf{S}$ 小于 $0.5$ 时，我们认为样本属于负类。通过这种方式，逻辑回归模型就能够对样本进行分类。

总的来说，逻辑回归通过线性回归模型输出结果并应用 Sigmoid 函数，将连续值映射为概率，从而实现对分类问题的处理。这种方法不仅简单有效，而且在二分类问题中具有广泛的应用。

二、Sigmoid函数与损失函数

2.1 Sigmoid函数

Sigmoid 函数是一种常用于分类模型中的激活函数，其定义上一小节有写。通常，分类问题有两种结果：一种是“是”，另一种是“否”。我们可以将 $0$ 对应于“否”，$1$ 对应于“是”。

既然输出是 $[0,1]$ 的连续区间，为什么结果只有 $0$ 和 $1$？这里我们引入一个阈值（通常设为 $0.5$）。当输出的概率大于 $0.5$ 时，我们将其归为正类（即 $1$ 类）；当输出的概率小于 $0.5$ 时，我们将其归为负类（即 $0$ 类）。当然，这个阈值可以根据具体问题的需要自行设定。

接下来，我们将线性模型 $\mathbf{aX}+\mathbf{b}$ 代入 Sigmoid 函数中，就得到了逻辑回归的一般模型方程：
$$\mathbf{H}(\mathbf{a},\mathbf{b})=\frac{1}{1+e^{-(\mathbf{aX}+\mathbf{b})}}$$
其中，$\mathbf{H}(\mathbf{a},\mathbf{b})$ 表示样本属于正类的概率。当该概率大于 $0.5$ 时，我们将其判定为正类；当该概率小于 $0.5$ 时，我们将其判定为负类。这样，逻辑回归通过将线性回归模型的输出映射到 $[0,1]$ 区间，从而实现分类的目的。

2.2 损失函数

逻辑回归的损失函数称为对数损失函数（log loss），也被称为对数似然损失函数（log-likelihood loss）。其具体形式如下：
$$\text{Cost}({\mathbf{h}}_{\theta }(\mathbf{x}),y)=\{\begin{array}{ll}-\log ({\mathbf{h}}_{\theta }(\mathbf{x}))& \text{if }y=1\\ -\log (1-{\mathbf{h}}_{\theta }(\mathbf{x}))& \text{if }y=0\end{array}$$
在这个公式中，$y=1$ 时使用第一个表达式，而 $y=0$ 时使用第二个表达式。这是因为我们希望当模型预测接近真实值时，损失较小；反之，预测偏离真实值时，损失较大。

引入对数函数的原因在于其独特的性质：当真实值为 $1$ 而模型预测概率 $\mathbf{h}$ 接近 $0$ 时，$-\log (\mathbf{h})$ 会趋向于无穷大，表示极大的惩罚。同样地，当真实值为 $0$ 而模型预测概率 $\mathbf{h}$ 接近 $1$ 时，$-\log (1-\mathbf{h})$ 也会趋向于无穷大。因此，对数函数能够有效地对错误的预测进行严厉的惩罚，而对准确的预测则几乎没有惩罚。

通过使用梯度下降等优化算法，我们可以最小化损失函数，找到使损失函数达到最小值的参数，从而训练出最佳的逻辑回归模型。

三、多分类逻辑回归与优化方法

3.1 多分类逻辑回归

逻辑回归可以通过一种称为“一对多”（one-vs-rest）的策略来处理多分类问题。具体步骤如下：

1. 首先，将某个类别视为正类，而将其他所有类别视为负类，然后训练一个逻辑回归模型来计算样本属于该类别的概率 $p1$。
2. 接下来，将另一个类别（如 class2）视为正类，而将其他所有类别视为负类，训练另一个逻辑回归模型来计算样本属于该类别的概率 $p2$。
3. 重复上述过程，对每一个类别都进行类似处理，计算样本属于每个类别的概率 ${\mathbf{p}}_{\mathbf{i}}$。

最终，我们将所有类别的概率进行比较，选择概率最大的那个类别作为最终预测结果。

通过这种方法，我们可以将多分类问题转化为多个二分类问题，并通过选择概率最大的类别来完成多分类任务。

3.2 优化方法

逻辑回归的优化方法包括一阶方法和二阶方法：

• 一阶方法：
  • 梯度下降：通过计算损失函数的梯度，并根据梯度更新参数。梯度下降的速度较慢，但简单易用。
  • 随机梯度下降（SGD）：每次迭代只使用一个样本更新参数，速度更快，适用于大规模数据。
  • Mini-batch随机梯度下降：对数据进行小批量处理，结合了全量梯度下降和SGD的优点，提高计算效率。
• 二阶方法：
  • 牛顿法：通过二阶泰勒展开来更新参数，收敛速度较快，但计算Hessian矩阵的复杂度较高，且可能无法保证函数值稳定下降。
  • 拟牛顿法：不直接计算Hessian矩阵，而是构造其近似矩阵。常用的拟牛顿法包括DFP法（逼近Hessian的逆）、BFGS法（直接逼近Hessian矩阵）、L-BFGS法（减少存储空间需求）。

四、特征离散化

在逻辑回归中，特征离散化可以带来以下好处：

1. 引入非线性：将连续特征离散化后，可以捕捉到非线性特征，提高模型的表达能力。
2. 计算速度快：稀疏向量的内积运算速度较快，计算结果也便于存储和扩展。
3. 鲁棒性强：离散化后的特征对异常数据具有较强的鲁棒性，减少了异常值对模型的影响。
4. 特征组合：离散化后可以进行特征交叉，增加模型的复杂度和表达能力。
5. 模型稳定性：离散化后，模型对特征的微小变化更为稳定，避免了极端值对模型的干扰。
6. 简化模型：特征离散化有助于简化模型，降低过拟合的风险。

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参考：

• Logistics Regression
• Sigmoid函数

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