系统架构设计师 - 数学与经济管理

数学与经济管理

数学与经济管理（1 - 2分）
- 图论应用
- - 最小生成树
  - 最短路径
  - 网络与最大流量 ★
- 运筹方法
- - 关键路径法 ★ ★ ★
  - 线性规划 ★
  - 动态规划 ★ ★ ★
  - 排队论
  - 预测与决策 ★
  - - 预测 - 博弈论
    - 决策
- 数学建模 ★ ★

大家好呀！我是小笙，本章我主要分享系统架构设计师 - 数学与经济管理知识，希望内容对你有所帮助！！

数学与经济管理（1 - 2分）

图论应用

最小生成树

满足最小生成树的条件

所有顶点接入
没有回路
权值之和最小

例题：德某小区有七栋楼房①~⑦（见下图），各楼房之间可修燃气管道路线的长度（单位：百米）已标记在连线旁。为修建连通各个楼房的燃气管道，该小区内部煤气管道的总长度至少为多少百米？

克鲁斯卡尔算法 - 最短边

思想：依次寻找从短到长的边，同时满足上述最小生成树要求

最短边方式最后计算得出值为：23

普里姆算法 - 最近顶点

思想：一开始随机选择一个顶点找寻该顶点最近的顶点，以后循环选择连接一个顶点（离所有已经选择的顶点的最近的顶点），并且不会形成环

最短边方式最后计算得出值为：23

最短路径

思想：拓扑思想，通过 s 找寻到 1 和 2 的最短路径，然后通过 1 和 2 找寻 3、4、5、7、8的最短路径，以此类推最终求得找到 t 的最短路径

例题

1、有一批货物要从城市s发送到城市t,线条上的数字代表通过这条路的费用(单位为万元)。那么，运送这批货物，至少需要花费多少元？

最短路径最后计算得出值为：81

网络与最大流量 ★

思想：使用贪心算法思想，类似于“路径消消乐”，路径上从 1 -> 6 上的值可以相互抵消，抵消的最大值就是该路径的最大流量，以此类推消除，消除到最后没有可以到达的路径，就是最后的累计最大流量

例题

1、下图标出了某地区的运输网，各节点之间的运输能力如下表所示。那么，从节点①到节点⑥的最大运输能力（流量）可以达到多少万吨/小时？

最大运输能力最后计算得出值为：23

运筹方法

关键路径法 ★ ★ ★

线性规划 ★

核心思想：列出联立方程，然后通过图解法更好解决

某企业需要采用甲、乙、丙三种原材料生产 I、II 两种产品。生产两种产品所需原材料数量、单位产品可获得利润以及企业现有原材料数如下表所示，则公司可以获得的最大利润是三 34 万元。取得最大利润时，原材料甲尚有剩余

解题步骤：

方程式如下，求 9X + 12Y 的最大值以及原材料哪个有剩余

甲：X + Y <= 4
乙：4X + 3Y <= 12
丙：X + 3Y <= 6

将交点带入到 9X + 12Y 求得最大值为 34，X 为 2 ； Y 为 4/3，然后将值带回方程式，只有甲还有剩余

动态规划 ★ ★ ★

1、某公司现有400万元用于投资甲、乙、丙三个项目，投资额以百万元为单位，已知甲、乙、丙三项投资的可能方案及相应获得的收益如下表所示，则该公司能够获得的最大收益值是 18 百万元

暴力求解法：

2、某企业准备将四个工人甲、乙、丙、丁分配在A、B、C、D四个岗位。每个工人由于技术水平不同，在不同岗位上每天完成任务所需的工时见下表。肖安排岗位，可使四个工人以最短的总工时 14 全部完成每天的任务

贪心思想 + 动态调整：分别选出 A、B、C、D岗位所需工时最短的，然后根据最短的得知乙丙重叠，甲同时可以C、D，需要将甲的一个岗位分配给乙、丙（限制条件：一个人只能拥有一个岗位）

排队论

某博览会每天8：00开始让观众通过各入口处检票进场，8：00前已经有很多观众在排队等候。假设8：00后还有不少观众均匀地陆续到达，而每个入口处对每个人的检票速度都相同。根据以往经验，若开设8个入口，则需要60分钟才能让排队观众全部入场；若开设10个入口，则需要40分钟才能消除排队现象。为以尽量少的入口数确保20分钟后消除排队现象，博览会应在8：00和8：20开设的入口数分别为 16,4

求解过程：

设8点前已排队等候的人数为 A ,每分钟可以来 Z 人，每个入口每分钟能进 Y人
1式：8 * 60 * Y = 60 * Z+A
2式：10 * 40 * Y = 40 * Z+A
1式 减 2式 得：3式：80Y = 20Z
把 3式 代入1式 得：A=240Y
所以要20分钟消除排队现象则有：
X * 20 * Y=20 * (4Y)+240Y
求得X = 16
所以8点应开入口16个，而8点20由于消除了排队，开口数量只需要4个就行了(依据：80Y = 20Z)

预测与决策 ★

预测 - 博弈论

两个嫌疑犯被隔离审讯。他们面临的处境是：如果两人都坦白，各判刑8年；如果两人都抵赖，各判刑1年（或许证据不足）；如果一人坦白另一人抵赖，则坦白的放出去，不坦白的判刑10年，（“坦白从宽、抗拒从严”)。这里，两个囚徒就是两个局中人，每个局中人都有两个策略可供选择：坦白或抵赖。表中每一格的一对数字分别表示局中人不同策略组合的收益，第一个数字是囚徒A的收益，第二个数字是囚徒B的收益。这种有限对策（局中人是有限个，每个局中人的策略数也是有限的）往往用矩阵形式表示，站在自己的角度最优解就是都是坦白

决策

确定型决策
风险决策
不确定型决策

决策矩阵
- 乐观主义准则（大中取大）：投资策略为积极
- 悲观主义准则（小中取大）：投资策略为保守
- 折中主义准则
- 等可能准则（加权平均数）：投资策略为保守
- 后悔值准则
  
  当趋势确定后，哪种策略最合适则其后悔值为0，其他策略据此计算相应亏损即后悔值

数学建模 ★ ★

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段

数学建模的过程

模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题
模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设
模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数学工具
模型求解：.利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）
模型分析：对所得的结果进行数学上的分析
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程
模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异

模型分析

模型的合理性分析 (最佳、适中、满意等)
模型的误差分析 (模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差、过失误差、绝对误差、相对误差等)
参数的灵敏性分析 (变量数据是否敏感，在最优方案不变的条件下这些变量允许变化的范围)

模型检验

利用实际案例数据对模型进行检验是很常见的。将模型作为一个黑盒，通过案例数据的输入，检查其输出是否合理。这是应用人员常用的方法
可以请专家来分析模型是否合理。经验丰富的专家一般会根据模型自身的逻辑，再结合实际情况，分析是否会出现矛盾或问题
利用计算机来模拟实际问题，再在计算机上检验该数学模型。有时很难用实际案例或聘请专家来检验模型，例如，试验或实验的代价太大，难以取得实际案例，有的项目技术比较新，缺乏有经验的专家。例如，对某种核辐射防护建立的数学模型，采用计算机模拟方法来检验就十分有效

数学建模方法