二叉平衡树（左单旋，右单旋，左右双旋、右左双旋）

一、AVL树（二叉平衡树：高度平衡的二叉搜索树）

0、二叉平衡树

左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。

public class AVLTree{static class AVLTreeNode {public TreeNode left = null; // 节点的左孩子public TreeNode right = null; // 节点的右孩子public TreeNode parent = null; // 节点的双亲public int val = 0;public int bf = 0; // 当前节点的平衡因子=右子树高度-左子树的高度public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root;//插入函数等....}
// 将AVLTreeNode定义为AVLTree的静态内部类

1、查找

二叉平衡树的查找和二叉搜索树的方法是一样的，因为它们具有相同的结构特点——右孩子val值小于根节点val，根节点val小于左孩子val。

2、插入

二叉搜索树的插入一定是插入到叶子节点的位置。
二叉平衡树将节点插入到叶子节点之后，要维护左右子树的平衡因此可能还要进行旋转操作。

  1. 先将数据插入到AVL树当中（和二叉搜索数一样）
  2. 插入进去后，根据平衡因子来进行对树的调整

3、插入后无需旋转的情况：

注意各节点bf值得变化

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4、右单旋&左单旋:

对parent进行右单旋就是把parent.left提拔成根节点
注意各节点bf值得变化
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对parent进行左单旋就是把parent.right提拔成根节点
注意各节点bf值得变化
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补充：相对与根节点各个节点的名称，后续得图会用到这些名称

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树parent是pParent(parent.parent)的一棵子树，对parent进行旋转后需要将新的根节点的parent指针指向pParent.

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//检查 当前是不是就是根节点
if(parent == root) {root = subL;// subL.parent等于parent，subL提拔成了根节点，所以要将subL.parent设置为null,subL.parent = null;
}else {//不是根节点，判断这棵子树是左子树还是右子树if(pParent.left == parent) {pParent.left = subL;}else {pParent.right = subL;}subL.parent = pParent;
}

5、左右双旋 &右左双旋

  1. 注意指针指向
  2. 注意维护bf

右左双旋过程图：

image.png
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左右双旋过程图：

image.png
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下面这两幅图介绍了左右双旋时如何维护个节点的bf值（右左双选的不想画了，太累了）

image.png
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/*** 左右双旋* @param parent*/
private void rotateLR(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;int bf = subLR.bf;rotateLeft(parent.left);rotateRight(parent);// 这个规律很重要，中间状态的bf值不重要，根据初始状态的bf值来修改平衡状态的bf值if(bf == -1) {parent.bf = 1;subL.bf = 0;subLR.bf = 0;}else if(bf == 1){parent.bf = 0;subL.bf = -1;subLR.bf = 0;}
}

/*** 右左双旋* @param parent*/
private void rotateRL(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;int bf = subRL.bf;rotateRight(parent.right);rotateLeft(parent);// 这个规律很重要，中间状态的bf值不重要，根据初始状态的bf值来修改平衡状态的bf值if(bf == 1) {parent.bf = -1;subR.bf = 0;subRL.bf = 0;}else if(bf == -1){parent.bf = 0;subR.bf = 1;subRL.bf = 0;}
}

6、总代码

package org.example;/*** @Author 12629* @Description：*/
public class AVLTree {static class TreeNode {public int val;public int bf;//平衡因子public TreeNode left;//左孩子的引用public TreeNode right;//右子树的引用public TreeNode parent;//父亲节点的引用public TreeNode(int val) {this.val = val;}}public TreeNode root;//根节点public boolean insert(int val) {TreeNode node = new TreeNode(val);if(root == null) {root = node;return true;}TreeNode parent = null;TreeNode cur = root;while (cur != null) {if(cur.val < val) {parent = cur;cur = cur.right;}else if(cur.val == val) {return false;}else {parent = cur;cur = cur.left;}}//cur == nullif(parent.val < val) {parent.right = node;}else {parent.left = node;}//node.parent = parent;cur = node;// 平衡因子 的修改while (parent != null) {//先看cur是parent的左还是右  决定平衡因子是++还是--if(cur == parent.right) {//如果是右树，那么右树高度增加 平衡因子++parent.bf++;}else {//如果是左树，那么左树高度增加 平衡因子--parent.bf--;}//检查当前的平衡因子 是不是绝对值 1  0  -1if(parent.bf == 0) {//说明已经平衡了break;}else if(parent.bf == 1 || parent.bf == -1) {//继续向上去修改平衡因子cur = parent;parent = cur.parent;}else {//右树高-》需要降低右树的高度if(parent.bf == 2) {if(cur.bf == 1) {//左旋rotateLeft(parent);}else {//cur.bf == -1rotateRL(parent);}}else {//parent.bf == -2 左树高-》需要降低左树的高度if(cur.bf == -1) {//右旋rotateRight(parent);}else {//cur.bf == 1rotateLR(parent);}}//上述代码走完就平衡了break;}}return true;}private void rotateRL(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;int bf = subRL.bf;rotateRight(parent.right);rotateLeft(parent);if(bf == 1) {parent.bf = -1;subR.bf = 0;subRL.bf = 0;}else if(bf == -1){parent.bf = 0;subR.bf = 1;subRL.bf = 0;}}/*** 左右双旋* @param parent*/private void rotateLR(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;int bf = subLR.bf;rotateLeft(parent.left);rotateRight(parent);if(bf == -1) {parent.bf = 1;subL.bf = 0;subLR.bf = 0;}else if(bf == 1){parent.bf = 0;subL.bf = -1;subLR.bf = 0;}}/*** 左单旋* @param parent*/private void rotateLeft(TreeNode parent) {TreeNode subR = parent.right;TreeNode subRL = subR.left;parent.right = subRL;subR.left = parent;if(subRL != null) {subRL.parent = parent;}TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subR;if(root == parent) {root = subR;root.parent = null;}else {if(pParent.left == parent) {pParent.left = subR;}else {pParent.right = subR;}subR.parent = pParent;}subR.bf = parent.bf = 0;}/*** 右单旋* @param parent*/private void rotateRight(TreeNode parent) {TreeNode subL = parent.left;TreeNode subLR = subL.right;parent.left = subLR;subL.right = parent;//没有subLRif(subLR != null) {subLR.parent = parent;}//必须先记录TreeNode pParent = parent.parent;parent.parent = subL;//检查 当前是不是就是根节点if(parent == root) {root = subL;// subL.parent等于parent，subL提拔成了根节点，所以要将subL.parent设置为null.subL.parent = null;}else {//不是根节点，判断这棵子树是左子树还是右子树if(pParent.left == parent) {pParent.left = subL;}else {pParent.right = subL;}subL.parent = pParent;}subL.bf = 0;parent.bf = 0;}//中序遍历的结果是有序的 就能说明当前树 一定是AVL树吗？  不一定的private boolean inorder(TreeNode root){return inorderHelper(root,Long.MIN_VALUE);}private boolean inorderHelper(TreeNode root,long pre) {if(root == null) {return true;}if(!inorderHelper(root.left,pre)) {return false;}if(pre < root.val){pre = root.val;if(!inorderHelper(root.right,pre)){return false;}return true;}return false;}private int height(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}int leftH = height(root.left);int rightH = height(root.right);return leftH > rightH ? leftH+1 : rightH+1;}public boolean isBalanced(TreeNode root) {if(root == null) {return true;}int leftH = height(root.left);int rightH = height(root.right);if(rightH-leftH != root.bf) {System.out.println("这个节点："+root.val+" 平衡因子异常");return false;}return Math.abs(leftH-rightH) <= 1&& isBalanced(root.left)&& isBalanced(root.right)&&inorder(root);// 不仅要左右平衡，还要排序}
}

二叉平衡树的适用和不适用场景如下:
适用场景:

  1. 动态数据集合:
    • 当需要频繁地对数据集合进行插入、删除和查找操作时,二叉平衡树是一个很好的选择。它能够保持O(log n)的时间复杂度,避免了普通二叉搜索树在极端情况下退化为链表的问题。
  2. 需要保持数据有序性:
    • 二叉平衡树能够维护数据的有序性,同时也具有较高的查找效率。这在需要保持数据有序性并进行快速查找的场景中非常适用,例如索引数据库、缓存系统等。
  3. 需要高效的范围查询:
    • 由于二叉平衡树能够维护数据的有序性,因此可以很高效地进行范围查询,例如查找某个区间内的所有元素。这在一些需要范围查询的应用中很有用,如地理信息系统、网络路由表管理等。

不适用场景:

  1. 数据集合变化较小:
    • 如果数据集合的变化(插入、删除)很少,使用普通的二叉搜索树可能更加简单高效,因为不需要维护平衡性。
  2. 内存使用要求苛刻:
    • 二叉平衡树需要存储额外的平衡信息(如高度、平衡因子),会占用更多的内存。如果内存使用非常受限,可能需要选择其他更简单的数据结构。
  3. 对写操作要求极高:
    • 由于需要进行平衡操作,二叉平衡树的写操作(插入和删除)会稍微慢于普通的二叉搜索树。如果对写操作的性能要求极高,可能需要考虑其他数据结构。

总的来说,二叉平衡树是一种非常实用的数据结构,在需要高效管理动态有序数据集合的场景中表现优秀。但在某些特定的应用需求中,可能需要根据具体情况来权衡选择适合的数据结构。

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