从 麦克斯韦方程组 到 波动方程 再到 二维波动方程

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从麦克斯韦方程组，推导出了电场和磁场的波动方程。这两个波动方程描述了电磁场的传播，并且它们的形式与标准的波动方程一致。波动方程表明电场和磁场都以波的形式传播，传播速度 $c$ 由以下关系确定：
$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$这个速度 $c$ 恰好是光速，这证明了光是一种电磁波。

麦克斯韦方程组在真空中的形式

1. 高斯定律（电场） ：
   $\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

2. 高斯定律（磁场） ：
   $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$

3. 法拉第电磁感应定律 ：
   $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

4. 安培-麦克斯韦方程 ：
   $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
   在真空中，电荷密度 $\rho$ 和电流密度 $\mathbf{J}$ 都为零，因此方程简化为：

5. $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$

6. $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$

7. $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

8. $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

推导电场的波动方程

首先对法拉第电磁感应定律取旋度：
$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)$利用向量分析中的恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E}$，并结合高斯定律（电场） $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$，得到：
$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-{\nabla }^2\mathbf{E}$所以：
$$-{\nabla }^2\mathbf{E}=\nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)$$
${\nabla }^2\mathbf{E}=\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})$再利用安培-麦克斯韦方程中的 $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$，得到：
$${\nabla }^2\mathbf{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left({\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$
$${\nabla }^2\mathbf{E}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$这就是电场的波动方程：
$${\nabla }^2\mathbf{E}-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$$

推导磁场的波动方程

对安培-麦克斯韦方程取旋度：
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})=\nabla \times \left({\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$同样利用向量恒等式 $$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{B})-{\nabla }^2\mathbf{B}$$ 和高斯定律（磁场） $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$，得到：
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})=-{\nabla }^2\mathbf{B}$$所以：
$$-{\nabla }^2\mathbf{B}=\nabla \times \left({\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$
$${\nabla }^2\mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})$$再利用法拉第电磁感应定律 $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$，得到：
$${\nabla }^2\mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)$$
$${\nabla }^2\mathbf{B}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}$$这就是磁场的波动方程：
$${\nabla }^2\mathbf{B}-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0$$

从标准波动方程到二维波动方程

从标准波动方程推导出二维波动方程。先从三维标准波动方程出发，逐步简化到二维波动方程。
标准波动方程在三维空间中的一般形式为：
$$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}={\nabla }^2\psi$$
其中：

• $\psi (x,y,z,t)$ 是描述波动的函数。

• $v$ 是波速。

• ${\nabla }^2\psi$ 是拉普拉斯算子，定义为：
  $${\nabla }^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}$$

推导二维波动方程

为了得到二维波动方程，需要假设波动在 $z$ 方向上没有变化。这意味着：
$$\frac{\partial \psi }{\partial z}=0$$
从而：$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=0$因此，拉普拉斯算子简化为：
$${\nabla }^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}$$将这个简化的拉普拉斯算子代入标准波动方程中，得到：
$$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}$$通常会把 $\psi$ 改写为 $u$ 以表示二维波动函数，且将波速 $v$ 改写为 $c$ ，于是方程变为：
$$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$$为了使方程更加简洁，将 $c^2$ 移到右边：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
这就是二维波动方程。

把步骤简化就是

1. 从标准波动方程出发：
   $$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}={\nabla }^2\psi$$

2. 将拉普拉斯算子展开为三维形式：
   $${\nabla }^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}$$

3. 假设波动在 $z$ 方向上没有变化，即 $\frac{\partial \psi }{\partial z}=0$ ，于是 $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}=0$ 。

4. 简化拉普拉斯算子：
   $${\nabla }^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}$$

5. 将简化后的拉普拉斯算子代入标准波动方程：
   $$\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}$$

6. 改写为二维波动函数 $u$ 和波速 $c$ ，得到：
   $$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$$

7. 最终整理得到二维波动方程：
   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$

这样就从标准波动方程推导出了二维波动方程。