【问题】
一条长为L的绳子,一面靠墙,另外三边组成矩形,问此矩形最大面积能是多少?
【示意图】
【解析式】
设垂直于墙的两边长为x,则墙对边长为L-2x,围成的矩形面积S=x(L-2x)
写成标准的解析式为y=x(L-2x)=-2x^2+Lx,x∈(0,L/2)
【函数图像】
由解析式可知该曲线为开口向下经过原点的抛物线的一部分,当L=1时,函数图像如下:
【使用Canvas进行绘图的代码】
<!DOCTYPE html> <html lang="utf-8"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/> <head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas,请更换浏览器再试.</canvas></div></body> </html> <script type="text/javascript"> <!-- /***************************************************************** * 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来,粘贴到文本编辑器中, * 另存为.html文件,再用chrome浏览器打开,就能看到实现效果。 ******************************************************************/ // 画布宽度 const WIDTH=1200;// 画布高度 const HEIGHT=600;// 画布环境 var context=0; // 缩放比例 const ScaleUnit=250;// 舞台对象 var stage;// 消逝的时间 var timeElapsed=0;// 图像标题,title const TITLE=" y=x*(1-2x)";// 核心勾画函数,由body_onload调用 function draw(){document.title="函数"+TITLE+" 图示";// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas'); canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d'); // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前,原点在左上角,向右为X正向,向下为Y的正向// 处置完毕后,原点移动到画布中央,向右为X正向,向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate(); };//------------------------------- // 画图 //------------------------------- function animate(){ timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<100){ window.requestAnimationFrame(animate);} }//------------------------------- // 舞台对象定义处 //------------------------------- function Stage(){var obj=new Object;obj.prpty={"x":0,"y":0,"pts":[],"pts2":[],"pts3":[],"max":-10,"min":10};// 随时间更新位置obj.update=function(t){// xy值是如何变化的obj.prpty.x+=0.01;let x=obj.prpty.x;obj.prpty.y=x*(1-2*x);// 取极值if(obj.prpty.y<obj.prpty.min){obj.prpty.min=obj.prpty.y;}if(obj.prpty.y>obj.prpty.max){obj.prpty.max=obj.prpty.y;}// 放入数组let arr={"x":obj.prpty.x,"y":obj.prpty.y};// 断点if(arr.x<1){this.prpty.pts.push(arr);}else{this.prpty.pts2.push(arr);}};// 画前景obj.paint=function(ctx){ // 写当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+this.prpty.x.toFixed(3)+" Y:"+this.prpty.y.toFixed(3),-400,125,"navy",18);// 写极值drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+" min:"+this.prpty.min.toFixed(3),-400,105,"navy",18);// 绘制曲线paintCurve(ctx,"maroon",this.prpty.pts);paintCurve(ctx,"orange",this.prpty.pts2);paintCurve(ctx,"navy",this.prpty.pts3);};// 画背景obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="white";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey");// 标题drawText(ctx,"函数 "+TITLE+" 图示",-400,-160,"navy",18);// 作者,日期drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16);drawText(ctx,(new Date()).toLocaleDateString(),-500,-220,"navy",16);};return obj; }// 连点成线画曲线 function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.strokeStyle = color;ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);}} ctx.stroke();ctx.closePath(); }// 定点画实心圆 function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.stroke();ctx.restore(); }// 两点之间画线段 function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore(); }// 画横轴 function drawAxisX(ctx,start,end,step){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle='navy';ctx.fillStyle='navy';// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);}ctx.restore(); }// 画纵轴 function drawAxisY(ctx,start,end,step){ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle='navy';ctx.fillStyle='navy';// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore(); }// 画网格线 function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore(); }//------------------------------- // 角度得到弧度 //------------------------------- function getRad(degree){return degree/180*Math.PI; }//------------------------------- // 得到颜色 //------------------------------- function getColor(index){var arr=["aqua"/* aqua湖绿色*/,"black"/* black黑色*/,"blue"/* blue蓝色*/,"fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,"green"/* green 绿色*/,"grey"/* grey 草木灰*/,"lime"/* lime 亮绿色*/,"maroon"/* maroon 棕色*/,"navy"/* navy 海军蓝*/,"orange"/* orange 橙色*/,"purple"/* purple 紫色*/,"red"/* red 大红*/, "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,"teal"/* teal 蓝绿色*/,"yellow"/* yellow 亮黄*/,"#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/, ];if(index>arr.length){index=index % arr.length;}return arr[index]; }//------------------------------------- // 绘制文字,指定颜色 // ctx:绘图环境 // text:文字 // x,y:坐标 // color:颜色 // size:字体大小 //------------------------------------- function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore(); } //--> </script>
通过解析式我们可以知道极值点在抛物线的顶点(0.25,0.125)处,但通过解析式直接得到极值点不是求极值的常用方法,下面将分别讨论三种常用求极值点的方法。
【三种常用找极值的方法】
一.基本不等式法求极值
基本不等式法的核心理念是认为曲线的最低/最高点即为曲线的极值点,基本不等式中两变量的和为定值时可找到两变量积的最大值,两变量的积为定值时可找到两变量的和的最小值。
y=x(L-2x)=2x*(L-2x)/2
而L=2x+(L-2x)>=2*根号下(2x*(L-2x))
得到2x*(L-2x)<=L^2/4
所以y的最大值=L^2/4/2=L^2/8,此时x=L/4
二.判别式法找极值
判别式法找极值的理念是认为直线y=定值与曲线相交仅有一个交点的地方为曲线的极值点。
由y=-2x*2+Lx移项可得到
2x^2-Lx+y=0 此时y已经视为二次函数的常数项
Δ=L^2-4*2*y
当y=L^2/8时,Δ=0,2x^2-Lx+y=0仅有一个根。
即直线y=L^2/8仅与y=-2x*2+Lx只有一个交点(切点)
三.导数法求极值
导数法求极值的理念是认为曲线的切线斜率为0时即切线与x平行处为曲线的极值点
由y=-2x*2+Lx两边求导得
y'=-4x+L
当y'=0,即x=L/4时,y有最大值L^2/8.