西南交通大学【算法分析与设计实验5】

有障碍物的不同路径数量

实验目的

（1）理解动态规划算法的求解过程。

（2）分析动态规划算法的时间复杂度，比较动态规划算法与其他算法的效率差异。

（3）学会如何利用动态规划算法求解具体问题，了解动态规划算法的局限性。

实验任务

（1）完成实验5.3（有障碍物的不同路径数量）的各项要求。

（2）用C++语言实现该算法并进行测试。

（3）撰写实验报告，实验报告内容包括实验目的、实验任务、实验环境、实验步骤、实验结果和实验总结等部分。

实验步骤及结果

实验预习

从左下角以最短距离到达 B 点的路径数为多少？

X1 + X2

从左下角以最短距离到达 D 点的路径数为多少？

Y1 + Y2

写出采用动态规划法求解该问题的递推方程和边界条件（简要描述dp数组、数组下标和递推方程的含义）

构建三维dp数组：dp[i][j][k]

dp数组下标含义：1. i代表横坐标 2. j代表纵坐标 3. k为0或1,0代表最短路径，1代表最短路径数

dp数组含义：从起点到达坐标为(i, j)点的最短路径和最短路径数

注：dp数组中坐标不是以题目中说明的左下角为原点，而是以数组中的(0, 0)为原点，可以在代码中看到一些坐标转换部分。

递推方程：只有不在大厦里面的点才能应用递推方程，而大厦周围的点可以应用递推方程

对于dp[i][j][0]和dp[i][j][1]有三种情况：

1.(i, j)的左边的点和下面的点都不在大厦内

则递推公式为：

如果dp[i+1][j][0] == dp[i][j-1][0]

则dp[i][j][0] = dp[i+1][j][0] + 1

dp[i][j][1] = dp[i+1][j][1] + dp[i][j-1][1]

如果dp[i+1][j][0] > dp[i][j-1][0]

则dp[i][j][0] = dp[i+1][j][0] + 1

dp[i][j][1] = dp[i+1][j][1]

如果dp[i+1][j][0] < dp[i][j-1][0]

则dp[i][j][0] = dp[i][j-1][0] + 1

dp[i][j][1] = dp[i][j-1][1]

2.(i, j)的下面的点不在大厦内

则递推公式为：

dp[i][j][0] = dp[i+1][j][0] + 1

dp[i][j][1] = dp[i+1][j][1]

3.(i, j)的左边的点不在大厦内

则递推公式为：

dp[i][j][0] = dp[i][j-1][0] + 1

dp[i][j][1] = dp[i][j-1][1]

对于边界条件：

在最左边和最下面的坐标的最短路径是起点到此坐标的长度，最短路径数是1，即有

dp[i][0][0] = R – i ，dp[i][0][1] = 1 ， i = 0…R

dp[R][j][0] = j ， dp[R][j][1] = 1 ， j = 0…C

从左下角以最短路径到达 C1和C2 点的路径数是多少？

C1->6

C2->35

用C/C++语言实现该算法的源代码

#include <iostream>
using namespace std;
// 此代码坐标原点以数组(0, 0)为原点
int R;  // 行数
int C;  // 列数
int n;  // 大厦数
int num = 0;  // 数据组数
int dp[101][101][2];  // dp数组 含义在报告中已说明
int edifice[101][4];  // 大厦四个角的坐标
int res[101];  // 存储每组数据的结果
// 判断坐标是否在大厦内
bool is_ok1(int i, int j)
{// 如果在大厦内 返回falsefor (int k = 0; k < n; ++k){if (i > edifice[k][0] && i < edifice[k][1] && j > edifice[k][2] && j < edifice[k][3]){return false;}}return true;
}
// 判断从(i1, j1) 到 (i2, j2) 是否合法
bool is_ok2(int i1, int j1, int i2, int j2){// 如果(i1, j1) 在大厦内if(!is_ok1(i1, j1)){return false;}// 从左边到达if(i1 == i2){for(int i = 0;i < n;++i){if(i1 > edifice[i][0] && i1 < edifice[i][1] && j2 == edifice[i][3] && j1 == edifice[i][2]){return false;}}return true;}// 从下面到达if(j1 == j2){for(int i = 0;i < n;++i){if(j1 > edifice[i][2] && i1 < edifice[i][3] && i2 == edifice[i][0] && i1 == edifice[i][1]){return false;}}return true;}return false;
}
int main(void)
{while (cin >> R >> C){// 如果为0 0 则退出if (R == 0 && C == 0){break;}cin >> n;// 读取每个大厦的坐标for (int i = 0; i < n; ++i){int x, y, z, b;cin >> x >> y >> z >> b;// 存储大厦坐标 这里有对输入坐标转换为以(0, 0)为原点的坐标edifice[i][2] = y - 1;edifice[i][3] = edifice[i][2] + b;edifice[i][1] = R - x + 1;edifice[i][0] = edifice[i][1] - z;}// 初始化dp数组for (int i = 0; i <= R; ++i){dp[i][0][0] = R - i;dp[i][0][1] = 1;}for (int j = 0; j <= C; ++j){dp[R][j][0] = j;dp[R][j][1] = 1;}// 由下到上 由左到右遍历dp数组for (int i = R - 1; i >= 0; --i){for (int j = 1; j <= C; ++j){// 如果坐标不在大厦内if (is_ok1(i, j)){// 三种情况的递推公式if (is_ok2(i + 1, j, i, j) && is_ok2(i, j - 1, i, j)){if (dp[i + 1][j][0] == dp[i][j - 1][0]){dp[i][j][0] = dp[i + 1][j][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i + 1][j][1] + dp[i][j - 1][1];}else if (dp[i + 1][j][0] > dp[i][j - 1][0]){dp[i][j][0] = dp[i + 1][j][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i + 1][j][1];}else{dp[i][j][0] = dp[i][j - 1][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i][j - 1][1];}}else if (is_ok2(i + 1, j, i, j)){dp[i][j][0] = dp[i + 1][j][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i + 1][j][1];}else{dp[i][j][0] = dp[i][j - 1][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i][j - 1][1];}}}}// 将结果存储对应的res数组中res[num++] = dp[0][C][1];}// 输出结果for(int i = 0;i < num;++i){cout<<res[i]<<endl;}system("pause");return 0;
}

分析上述算法的时间复杂度，给出复杂度结果