题目

如果是一个2x1的随机矢量，具有PDF

证明的PDF是一个随机变量。提可以因式分解成，其中是一个在4.5节描述的白化变换。

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解答

首先：

因此，存在：

也就是是Hermitian矩阵。详细的性质可以参考：

https://zlearning.netlify.app/math/matrix/hermitian

对于Hermitian矩阵有：

实际情况下，都是大于0的实数，此时也叫正定Hermitian矩阵。

因此如果定义：

另外还存在：

那么存在：

其中：

如果令：，那么：

此时：

其中：

此时，存在：

因此，可以得到：

上述也可以理解为二次型经过旋转拉伸后变换到标准单位圆的过程。

具体参考

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/84784311

因为是一个2x1的随机矢量，因此也是一个2x1的随机矢量。

相应存在：

且想好独立。

那么：

根据卡方分布的定义：

卡方分布可以参考：

https://blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82735201

上述过程也可以推广到nx1的随机矢量，此时，=