题目

        Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏：一共有偶数堆石子，排成一行；每堆都有正整数颗石子，数目为 piles[i] 。游戏以谁手中的石子最多来决出胜负，石子的总数是奇数 ，所以没有平局。

        Alice 和 Bob 轮流进行，Alice 先开始 。 每个回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

        假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，当 Alice 赢得比赛时返回 true ，当 Bob 赢得比赛时返回 false 。

        示例 1：

输入：piles = [5,3,4,5]
输出：true
解释：Alice 先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，Alice 拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果 Bob 拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，Alice 拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的策略，所以返回 true 。

        示例 2：

输入：piles = [3,7,2,3]
输出：true

暴力法

        在石子游戏这类策略游戏中应用暴力法，通常意味着递归地尝试所有可能的取石子序列，直到游戏结束，然后根据这些尝试的结果判断先手玩家是否能赢得比赛。由于暴力法的指数级时间复杂度，在实际应用中，这种解法只适用于非常小的输入规模。使用暴力法求解本题的主要步骤如下。

        1、定义递归函数。接收当前石子堆数组、Alice和Bob当前的得分、以及当前轮到的玩家作为参数。

        2、递归尝试。对于当前可选的每堆石子，分别尝试从两端取走，更新双方得分，并递归调用函数检查后续步骤。

        3、回溯判断。汇总所有尝试的结果，只要有任意一条路径能让Alice最终得分高于Bob，则返回True。否则，返回False。

        根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

def stone_game_brute_force(piles, aliceScore=0, bobScore=0, isAlice=True):# 没有更多石子堆，判断Alice是否赢得比赛if not piles:return aliceScore > bobScore# 选择取走最左边还是最右边的石子堆for i in (0, -1):nextPile = piles[i]# 移除已取的石子堆nextPiles = piles[:i] + piles[i+1:]# 根据当前轮到的玩家更新分数nextAliceScore = 0nextBobScore = 0if isAlice:nextAliceScore = aliceScore + nextPileelse:nextBobScore = bobScore + nextPile# 递归尝试下一步if stone_game_brute_force(nextPiles, nextAliceScore, bobScore, not isAlice):return Trueif stone_game_brute_force(nextPiles, aliceScore, nextBobScore, not isAlice):return True# 如果所有尝试都无法让Alice赢得比赛，则返回Falsereturn Falsepiles = [5, 3, 4, 5]
# 输出: True
print(stone_game_brute_force(piles))

动态规划法

        考虑到游戏的最优策略具有重叠子问题和最优子结构的特点，故可以使用动态规划法来解决。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在石子堆从第i堆到第j堆之间，当前玩家与对手玩家之间的最大得分差。由于每次操作后剩下的石子堆序列也会形成一个新的子问题，因此可以通过比较两端石子堆大小来决定先手玩家的最佳选择，并以此更新dp数组。使用动态规划法求解本题的主要步骤如下。

        1、状态定义。定义dp[i][j]为在石子堆区间[i, j]内，按照最优策略进行游戏，先手相对于后手所能多获得的石子数量。这里的i和j代表石子堆的索引，i ≤ j。

        2、状态转移。状态转移的关键在于：考虑先手玩家的最优选择。对于区间[i, j]，先手有以下两种选择。

        （1）取走左侧的石子堆，此时后手面对的是区间[i+1, j]，先手优势变为piles[i] - dp[i+1][j]。

        （2）取走右侧的石子堆，此时后手面对的是区间[i, j-1]，先手优势变为piles[j] - dp[i][j-1]。

        3、边界条件。当区间长度为1，即只有一个石子堆时，dp[i][i] = piles[i]。因为此时先手直接拿走全部石子，相对于后手（无石子可拿）优势就是这堆石子的全部数量。

        根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。首先，我们创建一个大小为n x n的二维数组dp，并初始化对角线上的元素，即单个石子堆的情况。然后，按照区间长度从小到大（从长度为2到n）遍历所有可能的区间，并应用状态转移方程更新dp数组中的值。最后，dp[0][n-1]即表示整个石子序列按照最优策略进行游戏时，先手相对于后手的石子优势。如果dp[0][n-1] > 0，则表示Alice能赢得比赛。

def stone_game_dp(piles):n = len(piles)# 初始化dp数组，大小为n*n，用于存储区间[i, j]内先手的优势dp = [[0]*n for _ in range(n)]# 边界条件：单个石子堆，先手直接拿走全部，优势为该堆石子的数量for i in range(n):dp[i][i] = piles[i]# 构建状态转移方程，从长度为2的区间开始遍历到整个序列for length in range(2, n + 1):# 遍历区间起始位置for i in range(n - length + 1):# 计算区间结束位置j = i + length - 1# 应用状态转移方程，选择使先手优势最大的操作dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])# 如果dp[0][n-1] > 0，说明按照最优策略，先手能赢得比赛return dp[0][n-1] > 0piles = [5, 3, 4, 5]
# 输出: True
print(stone_game_dp(piles))

总结

        暴力法通过递归尝试所有可能的取石子序列来决定胜负，其时间复杂度是指数级别的。具体来说，对于每一步决策，都有两种选择（取左侧或右侧的石子堆），故总的时间复杂度大约为O(2^n)，其中n是石子堆的数量。在递归过程中，每一层递归调用都会消耗一定的栈空间来存储函数调用信息。最深的递归深度同样与石子堆的数量n有关，因此空间复杂度也是O(n)。暴力法虽然直观易懂，但对于较大的n值来说，其执行时间将迅速增长至不可接受的程度。

        动态规划法通过构建一个二维数组来避免重复计算，时间复杂度主要来自于填充这个数组的过程。对于长度为n的石子堆序列，需要填充一个n×n的表格，每个状态的计算基于之前较小状态的计算结果，因此总体的时间复杂度为O(n^2)。其空间复杂度同样为O(n^2)，因为需要一个n×n的二维数组来存储每个子问题的解。动态规划法通过预计算和存储子问题的解，避免了重复计算，极大地提高了效率。对于石子游戏这类具有重叠子问题和最优子结构的问题，动态规划是十分有效的。