题目

洛谷 P1548 [NOIP1997 普及组] 棋盘问题

[NOIP1997 普及组] 棋盘问题

题目背景

NOIP1997 普及组第一题

题目描述

设有一个 $N\times M$ 方格的棋盘 $(1\le N\le 100,1\le M\le 100)$

求出该棋盘中包含有多少个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。

例如：当 $N=2,M=3$ 时：

正方形的个数有 $8$ 个：即边长为 $1$ 的正方形有 $6$ 个；边长为 $2$ 的正方形有 $2$ 个。

长方形的个数有 $10$ 个：

即

• $2\times 1$ 的长方形有 $4$ 个：

• $1\times 2$ 的长方形有 $3$ 个：

• $3\times 1$ 的长方形有 $2$ 个：

• $3\times 2$ 的长方形有 $1$ 个：

输入格式

一行两个整数 $N,M$。

输出格式

一行两个整数，表示正方形的个数与长方形的个数。

样例 #1

样例输入 #1

2 3

样例输出 #1

8 10

想法

这道题，可以先数正方形和长方形一共有多少个，再单独数正方形有多少个，最后相减即可算出长方形个数。
第一步：数正方形、长方形总数。我们以$3\times 4$棋盘为例：
先看左上角，即第一行第一个，它连接右下方任意格点即可形成一个正方形或长方形。一共$3\times 4=12$个选择。
再处理第二个点，一共$2\times 4=8$个选择。
第3个点，一共$1\times 4=4$个选择。
对于第一行第四个点来说，有$0\times 4=0$个选择。
到了第二行第一个点，共$3\times 3=9$个选择。
第二个点，$2\times 3=6$个选择。
后面就不一一列举了，看下面这幅图：

所以，有$3\times 4+2\times 4+1\times 4+3\times 3+2\times 3+1\times 3+3\times 2+2\times 2+1\times 2+3\times 1+2\times 1+1\times 1=60$个正方形和长方形。
由特殊到一般，对于大小为$x\times y$的棋盘，正方形与长方形共有：

$$\begin{array}{rl}& t=xy+x(y-1)+x(y-2)+\cdots +x\times 1+(x-1)y+(x-1)(y-1)+\cdots +(x-1)\times 1+\cdots +1\times 1\\ & =[x+(x-1)+(x-2)+\cdots +1][y+(y-1)+(y-2)+\cdots +1]\\ & =\frac{x(x+1)}{2}\times \frac{y(y+1)}{2}\\ & =\frac{xy(x+1)(y+1)}{4}\end{array}$$

OK，现在只数正方形。还是以$3\times 4$棋盘为例：
先是最小的$1\times 1$正方形：共$3\times 4$个。
再是$2\times 2$正方形，共$2\times 3=6$个。
$3\times 3$正方形：$1\times 2=2$
由于的棋盘最短边为$3$，所以不可能再有$4\times 4$正方形。因此最大正方形的边长取决于棋盘最短边。
综上，共$3\times 4+2\times 3+1\times 2=20$个正方形。再由特殊推广到一般，对于大小为$x\times y$的棋盘：令 k = m i n { x , y } k=min\{x,y\} k=min{x,y}，其中 m i n { x , y } min\{x,y\} min{x,y}代表取$x,y$中的最小值。
正方形的个数为：
$$\begin{array}{rl}& s=xy+(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)+\cdots +(x-k)(y-k)\\ & =xy+xy-x-y+1^2+xy-2x-2y+2^2+\cdots +xy-kx-ky+k^2\\ & =(k+1)xy-(1+2+\cdots +k)(x+y)+(1^2+2^2+3^2+\cdots +k^2)\\ & =(k+1)xy-\frac{k(k+1)}{2}(x+y)+\sum _{i=1}^k{i}^2\\ & =(k+1)xy-\frac{k(k+1)(x+y)}{2}+\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\end{array}$$

实现

1. 输入。
2. 根据刚才的公式直接代数据。
3. 输出。

题解

C++

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){int x,y;cin >> x >> y; //输入int k = min(x,y); //套公式int s = (k + 1) * x * y - k * (k + 1) * (x + y) / 2 + k * (k + 1) * (2 * k + 1) / 6; //正方形int t = (x + 1) * (y + 1) * x * y / 4; //正方形与长方形总数cout << s << ' ' << t - s; //输出return 0;
}

Python

x,y = input().split()
x = int(x)
y = int(y)
k = min(x,y)
s = (k + 1) * x * y - k * (k + 1) * (x + y) / 2 + k * (k + 1) * (2 * k + 1) / 6 #正方形
t = (x + 1) * (y + 1) * x * y / 4 #正方形与长方形总数
print(int(s),int(t - s)) #输出

难度

难度：★★☆☆☆
这道题还是有点难的，虽然放在第一题，但要想写出一个完美的程序还是需要推出公式，说白了这就是道数学题。等到公式推出来了，甚至连判断、循环语句都不需要了，代码简洁得很啊。

结尾

这道题你是怎么AC的？欢迎讨论哦！我们下期再见~