最近做了两道题，都涉及到了这个定理，虽然我都没有用，不过学会这个定理确实有很多好处。

第一道是[TJOI2015] 组合数学，让你在一个矩阵中用最少的只能往右和往下的路径覆盖掉全部的点（点有权值）。这道题我一开始是用贪心做的，思考时模拟路径变化的过程其实挺复杂的，但是我做的时候总是隐隐约约的感觉有一种很好的性质，但是找不到。后面看了题解，发现用了Dilworth定理就能直接把DAG上的最小覆盖转换成最大独立集，在这一道题目中就是左下和右上的两个点，确实很厉害。

然后我学了一下Dilworth定理的证明。

首先是偏序集的定义：
对于集合$A$给定一个关系$R$（表达元素间的这个关系可以记做$aRb$），若$R$满足（默认元素均$\in A$）：
1.$aRa$（自反性）
2.若$aRb,bRa$存在，当且仅当$a=b$（反对称性）
3.若$aRb,bRc$，则有$aRc$（传递性）、

则R是A上的偏序关系，R和A一起称为一个偏序集。

然后是链和反链的定义：
1.链，指一个集合$S\subseteq A$，它的任意两个元素可比（指存在关系）。
2.反链，指一个集合$S^{\prime }\subseteq A$，它的任意两个元素不可比。

而Dilworth定理就是：对于一个偏序集，其最少反链划分=最大链，最少链划分=最大反链。

我们只需要证明第一条：最少反链划分=最大连，就能够通过“反向”定义偏序集得到。

定义最少反链划分数$p$，最大链大小$r$，偏序集$X$。

Lemma1. $p>=r$
Proof.由于链中元素都两两可比，所以它们之间都不会被划分在同一个反链中，显然得证。

下面定义极小元的概念：在偏序集$X$中，对于某个元素$A$，如果不存在$B$，使得$BRA$，那么元素$A$则视为极小元。

Lemma2. $r>=q$
Proof.设$X_1=X$，在$X_1$中删去极小元集合$A_1$得到$X_2$，以此类推，令$X_k$非空而$X_{k+1}$为空。

显然$A_1,A_2,A_3,...,A_k$为$X$反链划分的一种，因此有$k>=q$；且注意到对于$X_i(i>1)$中的任意元素$a_i$，比存在$X_{i-1}$中的元素$a_{i-1}$，使得$a_{i-1}R{a}_i$，因此存在连$S=a_1,a_2,...,a_k,R$（根据传递性）。由于$r$是最长链，因此有$r>=k$。引理于是得证。

第二题是ICPC2023合肥的B题，题目里面问有多少种序列能够通过两个队列排好序，我们把偏序定义为若$i<j,a_i<=a_j$则$iRj$，这样就能转换成序列列的最长下降子序列不超过。