**理论基础 **
无论大家之前对动态规划学到什么程度,一定要先看 我讲的 动态规划理论基础。
如果没做过动态规划的题目,看我讲的理论基础,会有感觉 是不是简单题想复杂了?
其实并没有,我讲的理论基础内容,在动规章节所有题目都有运用,所以很重要!
如果做过动态规划题目的录友,看我的理论基础 就会感同身受了。
题目讲解 | 视频讲解
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的,
例如:有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的,然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。
大家知道动规是由前一个状态推导出来的,而贪心是局部直接选最优的,对于刷题来说就够用了。
动态规划的解题步骤
对于动态规划问题,我将拆解为如下五步曲,这五步都搞清楚了,才能说把动态规划真的掌握了!
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
### **509. 斐波那契数 ** 很简单的动规入门题,但简单题使用来掌握方法论的,还是要有动规五部曲来分析。
[题目讲解](https://programmercarl.com/0509.%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B0.html) | [视频讲解](https://www.bilibili.com/video/BV1f5411K7mo)
这道题比较简单
class Solution {
public:int fib(int n) {int nums[31] = {0};nums[0] = 0;nums[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {nums[i] = nums[i - 1] + nums[i - 2];}return nums[n];}
};
**70. 爬楼梯 **
本题大家先自己想一想, 之后会发现,和 斐波那契数 有点关系。
题目讲解 | 视频讲解 | 力扣题目链接
- 确定dp数组和含义
dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法
- 确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出,dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1],上i-1层楼梯,有dp[i - 1]种方法,那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2],上i-2层楼梯,有dp[i - 2]种方法,那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和!
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
- 初始化
题目说是正整,所以从1开始,显而易见
class Solution {
public:int climbStairs(int n) {// 1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义int dp[46] = {0}; // 爬到i层有几种方法// 2. 确定递推公式// 当前这一层,可以从i-1层走一次,也可以从i-2层走一次// dp[i] = dp[i - 1] + dp[i + 2];// 3. dp数组如何初始化dp[1] = 1;dp[2] = 2;// 4. 确定遍历顺序for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];// 5. 举例推导dp数组}
};
**746. 使用最小花费爬楼梯 **
这道题目力扣改了题目描述了,现在的题目描述清晰很多,相当于明确说 第一步是不用花费的。
更改题目描述之后,相当于是 文章中 「拓展」的解法
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- 确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划,就要有一个数组来记录状态,本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义:到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
对于dp数组的定义,大家一定要清晰!
- 确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i],一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢?
一定是选最小的,所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
这里确定递推公式的时候,一定要想着当前的dp[i]可以如何通过之前的状态转换过来
class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {// 根据题目的描述:第一次跳上0或1下标是不耗费体力的// 要到达楼梯顶部,所以要比cost.size()大一阶vector<int> dp(cost.size() + 1, 0);dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[dp.size() - 1];}
};