- 💬 写在前面:所有编程语言都是通过归纳法定义的。因此,虽然编程语言本身是有限的,但用该语言编写的程序数量是没有限制的,本章将学习编程语言研究中最基本的归纳法。本章我们继续讲解归纳法,介绍归纳假设和结构性归纳法。
目录
0x00 归纳假设 (IH) 和结构归纳法
0x01 归纳假设的证明
0x00 归纳假设 (IH) 和结构归纳法
归纳法是一种用于证明归纳定义的集合中的元素所具有性质的方法。
假设存在一个通过归纳法定义的集合 ,为证明集合 中的所有元素 都满足某个性质 。
需证明以下两点:
① 若 是 的基本元素,则直接证明 。
② 若 是利用 中的其他元素 归纳定义出来的,那么:
并假设它们都成立,然后利用这些假设来证明 成立。
.
在这种情况下, 被称为 归纳假设 (induction hypothesis, IH) 。
这种证明方法称为 结构归纳法 (structural induction)。
当集合 是自然数集时,这种方法就称为 数学归纳法 (MI),是结构归纳法的一种特殊情况。
0x01 归纳假设的证明
举个例子,假设集合 是通过以下推理规则定义的集合:
让我们用结构归纳法来证明这样定义的集合 中的所有元素都能被 3 整除。
首先证明基本元素的情况。如果 等于 3,那么显然 能被 3 整除。
接下来,我们证明归纳生成的元素的情况,假设元素是按照以下规则生成的:
归纳假设 (induction hypothesis, I.H.) 如下:
x 和 y 能被 3 整除
根据归纳假设,设 ,需要证明的是:
x + y 能被 3 整除
证明如下:
··· 归纳假设
.
我们再举个例子,将集合 定义为通过以下推理规则所定义的集合:
并且当 时,设 和 分别表示 中包含的左括号和右括号的数量。
它们如下通过归纳法定义:
现在,我们来证明对于集合 的所有元素 ,左括号和有货好的数量是对等的。
我们可以如下表示将要证明的命题:
对于 ,
可以通过 结构归纳法 进行如下证明:
基础元素是 ,根据函数 和 的定义,成立 。
归纳生成的情况有以下两种:
.
规则一 的情况下,归纳假设如下:
需要证明的是 ,证明如下:
.
规则二 的情况下,归纳假设如下:
需要证明的是 ,证明方式如下:
📌 [ 笔者 ] 王亦优
📃 [ 更新 ] 2024.6.23
❌ [ 勘误 ] /* 暂无 */
📜 [ 声明 ] 由于作者水平有限,本文有错误和不准确之处在所难免,本人也很想知道这些错误,恳望读者批评指正!
📜 参考资料 - R. Neapolitan, Foundations of Algorithms (5th ed.), Jones & Bartlett, 2015. - T. Cormen《算法导论》(第三版),麻省理工学院出版社,2009年。 - T. Roughgarden, Algorithms Illuminated, Part 1~3, Soundlikeyourself Publishing, 2018. - J. Kleinberg&E. Tardos, Algorithm Design, Addison Wesley, 2005. - R. Sedgewick&K. Wayne,《算法》(第四版),Addison-Wesley,2011 - S. Dasgupta,《算法》,McGraw-Hill教育出版社,2006。 - S. Baase&A. Van Gelder, Computer Algorithms: 设计与分析简介》,Addison Wesley,2000。 - E. Horowitz,《C语言中的数据结构基础》,计算机科学出版社,1993 - S. Skiena, The Algorithm Design Manual (2nd ed.), Springer, 2008. - A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Design and Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, 1974. - M. Weiss, Data Structure and Algorithm Analysis in C (2nd ed.), Pearson, 1997. - A. Levitin, Introduction to the Design and Analysis of Algorithms, Addison Wesley, 2003. - A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley, 1983. - E. Horowitz, S. Sahni and S. Rajasekaran, Computer Algorithms/C++, Computer Science Press, 1997. - R. Sedgewick, Algorithms in C: 第1-4部分(第三版),Addison-Wesley,1998 - R. Sedgewick,《C语言中的算法》。第5部分(第3版),Addison-Wesley,2002 |