正定矩阵（Positive Definite Matrix）

flyfish

Positive（正数） ：在数学和统计学中，通常指大于零的数。在矩阵理论中，一个矩阵被称为正定，是因为它的性质类似于正数的性质。

Definite（定） ：在这里，“definite” 指的是矩阵具有确定的、明确的性质。具体地说，正定矩阵是指对于所有非零向量 $x$，都有 $x^{T}Ax>0$ 成立，其中 $A$ 是正定矩阵。

一个矩阵 $A$ 是正定矩阵（Positive Definite Matrix），如果对于任意的非零向量 $x$，都有：$$x^{T}Ax>0$$

对称正定矩阵

一个矩阵 $A$ 是对称正定矩阵（Symmetric Positive Definite Matrix），如果它同时满足以下两个条件：

1. 对称性 ：矩阵 $A$ 是对称的，即 $A=A^T$。

2. 正定性 ：对于任意的非零向量 $x$，有 $x^{T}Ax>0$。

正定性

$x^{T}Ax>0$对于一个矩阵$A$，我们希望它是正定的。这意味着对于任意的非零向量 $x$，向量 $x$ 通过矩阵 $A$ 变换后与自身的内积是正的，即：$x^{T}Ax>0$
其中：

• $x$ 是一个列向量。

• $x^T$ 是 $x$ 的转置，即行向量。

• $A$ 是待检查是否正定的矩阵。
  这个条件确保了矩阵 $A$ 在所有非零向量的方向上都是正的，从而保证了正定性。

$x^{T}Ax>0$ 看一个具体的例子。假设矩阵 $A$ 为：$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$并且向量 $x$ 为：$$x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$现在我们计算 $x^{T}Ax$：$$x^T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$$ $$x^{T}A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\end{array}\right)$$ $$x^{T}Ax=\left(\begin{array}{cc}3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=3\cdot 1+3\cdot 1=6$$我们看到 $x^{T}Ax=6>0$，这说明对于向量 $x$，矩阵 $A$ 是正定的。

对称性

设 $A$ 是一个任意矩阵，那么 $A^T$ 是它的转置矩阵。矩阵 $A\cdot A^T$ 计算如下：$$(A\cdot A^T{)}^T=(A^T{)}^T\cdot A^T=A\cdot A^T$$其中 $(A\cdot A^T{)}^T$ 是矩阵 $A\cdot A^T$ 的转置，根据矩阵乘法的性质，它等于原矩阵 $A\cdot A^T$。因此， $A\cdot A^T$ 是对称矩阵。

让我们以一个矩阵 $A$ 为例：$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$计算 $A^T$：$$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$$现在计算 $A\cdot A^T$：$$A\cdot A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 2& 1\cdot 3+2\cdot 4\\ 3\cdot 1+4\cdot 2& 3\cdot 3+4\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 11\\ 11& 25\end{array}\right)$$
我们看到：
$$A\cdot A^T=\left(\begin{array}{cc}5& 11\\ 11& 25\end{array}\right)$$这个矩阵是对称的，因为矩阵的转置 $$(A\cdot A^T{)}^T=A^T\cdot (A^T{)}^T=A\cdot A^T$$。

单位矩阵

单位矩阵 $I$ 是一个对角矩阵，其对角线上所有元素都是1，其他元素都是0。对于单位矩阵 $I$，我们有：$x^{T}Ix=x^{T}x={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$因为向量 $x$ 的每个元素的平方都是非负的，并且至少有一个元素是非零的（因为 $x$ 是非零向量），所以 ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^2>0$。因此，对于任何非零向量 $x$，都有 $x^{T}Ix>0$，这说明单位矩阵是正定的。
将单位矩阵乘以一个正数，并加到一个对称矩阵上，可以使原矩阵的特征值增加，从而保证矩阵的正定性。

考虑单位矩阵 $I$：$$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$对于任意向量 $x$，例如：$$x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$我们计算 $x^{T}Ix$：$$x^T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$$ $$x^{T}I=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$$ $$x^{T}Ix=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+1\cdot 1=2$$因为对任意非零向量 $x$， $x^{T}Ix$ 都大于 0，所以单位矩阵 $I$ 是正定的。
考虑一个 2x2 的单位矩阵：
$$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$如果将 0 和 1 的位置互换，得到的矩阵仍然是单位矩阵：
$$I^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
因为：

1. $I^{\prime }$ 仍然是一个方阵，且大小为 2x2。

2. $I^{\prime }$ 的主对角线上的元素是 1。

3. $I^{\prime }$ 的其它位置上的元素都是 0。
   因此，虽然元素的具体排列顺序发生了改变，但这并不影响矩阵是否满足单位矩阵的定义。因此，$I^{\prime }$ 也被认为是一个单位矩阵。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 生成一个随机的对称正定矩阵
def generate_spd_matrix(n):A = np.random.rand(n, n)A = np.dot(A, A.T)  # 生成对称矩阵A += n * np.eye(n)  # 保证正定性return A# 生成 5x5 的对称正定矩阵
n = 5
spd_matrix = generate_spd_matrix(n)# 获取矩阵中所有唯一的数值，并为每个数值分配一个唯一的颜色
unique_values = np.unique(spd_matrix)
num_unique = len(unique_values)
color_palette = sns.color_palette("viridis", num_unique)
color_map = {value: color_palette[i] for i, value in enumerate(unique_values)}# 根据数值映射颜色
colors_mapped = [[color_map[value] for value in row] for row in spd_matrix]# 绘制热图
plt.figure(figsize=(8, 6))
sns.heatmap(spd_matrix, annot=True, fmt=".2f", cmap=color_palette, cbar_kws={'label': 'Matrix Value'})
plt.title("Symmetric Positive Definite Matrix Heatmap")
plt.show()

点积

点积 ：是内积的一种具体形式，专门应用于欧几里得空间。给定两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的点积定义为：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$
其中 $\Vert \mathbf{a}\Vert$ 和 $\Vert \mathbf{b}\Vert$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的长度， $\theta$ 是它们之间的夹角。

垂直向量：点积为零，余弦值为 0。
同方向向量：点积为正且最大，余弦值为 1。
反方向向量：点积为负且最大，余弦值为 -1。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义向量
a = np.array([3, 4])
b = np.array([4, -3])  # 与 a 垂直
c = np.array([3, 4])  # 与 a 同方向
d = np.array([-3, -4])  # 与 a 反方向# 计算点积
dot_ab = np.dot(a, b)
dot_ac = np.dot(a, c)
dot_ad = np.dot(a, d)# 计算夹角的余弦值
cos_ab = dot_ab / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))
cos_ac = dot_ac / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(c))
cos_ad = dot_ad / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(d))# 绘图
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 6))# 情况 1: 垂直
axs[0].quiver(0, 0, a[0], a[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', label='a')
axs[0].quiver(0, 0, b[0], b[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b', label='b (perpendicular)')
axs[0].set_xlim(-5, 5)
axs[0].set_ylim(-5, 5)
axs[0].set_aspect('equal')
axs[0].grid(True)
axs[0].legend()
axs[0].set_title(f'Perpendicular: a·b = {dot_ab}, cosθ = {cos_ab:.2f}')# 情况 2: 同方向
axs[1].quiver(0, 0, a[0], a[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', label='a')
axs[1].quiver(0, 0, c[0], c[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='g', label='c (same direction)')
axs[1].set_xlim(-5, 5)
axs[1].set_ylim(-5, 5)
axs[1].set_aspect('equal')
axs[1].grid(True)
axs[1].legend()
axs[1].set_title(f'Same direction: a·c = {dot_ac}, cosθ = {cos_ac:.2f}')# 情况 3: 反方向
axs[2].quiver(0, 0, a[0], a[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='r', label='a')
axs[2].quiver(0, 0, d[0], d[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='m', label='d (opposite direction)')
axs[2].set_xlim(-5, 5)
axs[2].set_ylim(-5, 5)
axs[2].set_aspect('equal')
axs[2].grid(True)
axs[2].legend()
axs[2].set_title(f'Opposite direction: a·d = {dot_ad}, cosθ = {cos_ad:.2f}')plt.show()