1049. 最后一块石头的重量 II

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有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

思路

尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，思路就和416. 分割等和子集差不多。重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
五部曲：

1. 确定dp含义
   容量为j的背包，最多能背起的重量为dp[j]
   dp[target] == target 的时候，背包就装满了
2. 确定递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])

3. 初始化
   元素初始化为0，
   因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。
   而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。
4. 确定遍历方向

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}
}

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:dp = [0] * 15000total_sum = sum(stones)target = total_sum//2for stone in stones: #遍历物品for j in range(target, stone - 1, -1): # 对每块石头，从 target 向下遍历到这块石头的重量#对于每个可能的重量 j，尝试更新dp[j]dp[j] = max(dp[j], dp[j - stone] + stone)return (total_sum - dp[target]) - dp[target]

最后，dp[target] 是我们能得到的接近总重量一半的最大重量
(total_sum - dp[target])是另一堆石头的总重量

494. 目标和

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给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

思路

设sum为nums元素总和
+运算符求得的元素和为x，则-运算符求得的元素和为sum - x
就是要 x - (sum - x) = target
即x = (target + sum)/2
问题：装满容量为x的背包有几种方法

1. 确定dp含义
   dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。
2. 确定递推公式
   例如：dp[j]，j 为5，
   已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
   已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
   已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 容量为5的背包
   已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 容量为5的背包
   已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 容量为5的背包

dp[j] += dp[j - nums[i]]

组合类问题都可以用类似的递推公式。

3. 初始化
   初始化 dp[0] 为 1

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums)if abs(target)>total_sum: #无论如何都加不到这么大return 0if (target + total_sum)%2 == 1: #x=(target + sum)/2无法取整的情况return 0target_sum = (target + total_sum)//2dp = [0] * (target_sum + 1)dp[0] = 1for num in nums:for j in range(target_sum, num - 1, -1):dp[j] += dp[j-num]return dp[-1]

474.一和零

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给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

思路

本题中strs 数组里的元素就是物品，而m 和 n相当于是一个两维度的背包。

1. 确定dp
   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
2. 确定递推公式
   前一个strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

3. 初始化
   全初始化为0即可

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]for s in strs:zeroNum = s.count('0') # 0的个数oneNum = len(s) - zeroNum # 1的个数for i in range(m, zeroNum - 1, -1):for j in range(n, oneNum - 1, -1):dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)return dp[-1][-1]