0、背景描述

在学校里的时候，我就一直很好奇应变的定义为何如此花里胡哨、五花八门，各种教材又都只是定义，从来不解释究竟为什么。最近我无意间发现了一个宝藏公众号（名字叫：CAE知识地图），有兴趣的可以点击关注。

本文内容主要来自于这里以及原作者其他几篇文章，链接我就不一一放了，感兴趣的可以关注原作者。

话说，我觉得这个作者真的可以处啊。理工科要的就是明明白白清清楚楚，这个作者真是一个不错的人儿。

1、拉伸比（率）$\lambda$

一个典型的结构钢部件，其弹性模量约为$200GPa$，对应的拉伸屈服时的拉伸率为$1.001$，压缩屈服时的变形为$0.999$。因此对于结构钢来说，用拉伸比来描述它的变形就不是一个好方法，因为真正有用的数值出现在第四位有效数字，前面的都是浪费。为了避免这种问题，我们引入应变的概念，其基本思想是当材料“未发生变形” 时$\lambda =1$，应变为零。

在一维情况下，沿着某个方向的微元$d\text{X}$，我们定义应变为拉伸比$\lambda$的函数：
$$\epsilon =f(\lambda )$$

2、应变的引入

引入应变概念的目的是为了选择一个最方便使用的函数$f$。进一步，为了了解这个概念，我们把 在未拉伸的状态处做泰勒展开：
$$\epsilon =f(1)+(\lambda -1)\frac{df}{d\lambda }+\frac{1}{2!}(\lambda -1{)}^2\frac{d^{2}f}{d{\lambda }^2}+\dots \text{\hspace{1em}(1)}$$

为了满足前面我们说过的（在无变形时应变为零）条件，必须有$f(1)=0$ , 从而在 $\lambda =1$处 $\epsilon =0$ 。另外，我们选择$df/d\lambda =1$在$\lambda =1$处，从而保证在小应变情况下符合一般材料力学教科书中常见的应变定义：“单位长度材料的长度变化量”。这就确保了在一维情况下，应变很小的时候（从而泰勒级数的高阶项可忽略），用这种方式定义的所有应变度量都将给出相同的值。最后，我们要求对于所有物理上合理的$\lambda$值（即对于所有$\lambda >0$），应变度量应该随拉伸率单调递增。这样对于每一个拉伸率$\lambda$，都有唯一的应变与之对应。（选择$df/d\lambda >0$是任意的，其实我们也同样可以定义$df/d\lambda <0$，那意味着在压缩$\lambda <1$的情况下应变为正(在岩土力学中就经常出现这样的定义方式）。在Abaqus中，我们总是约定当$\lambda >1$时应变为正，对应拉伸，即使在岩土力学和本构中也是如此。

3、一维应变概念的拓展

在满足以上这些合理的约束条件的前提下（$f=0$，$df/d\lambda =1$在$\lambda =1$，以及$df/d\lambda >0$在$\lambda >0$），可以有许多不同形式的应变度量。常用的例子包括名义应变（Biot应变），对数应变，以及格林应变。名义应变（Biot应变）形式如下：
$$f(\lambda )=\lambda -1$$

在均匀应变的单轴拉伸试样中，设$l$是当前长度， $L$是初始长度，这一应变度量写为$(l/L)-1$。这是对做单轴拉伸试验的工程师来说最熟悉的定义了。除此以外，对数应变定义为：
$$f(\lambda )=ln\lambda$$

这一应变度量是对塑性金属常用的应变。这样做的原因之一是，当画出真应力-对数应变曲线的时候，拉伸、压缩和剪切的实验结果重合的很好。后面我们将看到，这种应变度量在数学上是最适合这类材料的，因为对于这类材料来说，应变的弹性部分可以认为非常小。

格林应变写为：

$$f(\lambda )=\frac{1}{2}({\lambda }^2-1)$$

这种应变度量可以很方便的处理存在较大运动但只有小变形的问题。因为在任意三维运动情况中，用它推导出的三维应变张量可以直接由变形梯度张量计算出来，而不需要求解主伸长率和主方向。

以上所有应变都满足基本的限制条件。显然，可选的应变函数种类有很多。选哪种应变函数完全是看用哪个比较方便的。由于应变通常是联系位移与应力的桥梁，有限元中选择应变度量主要基于两个考虑：从位移计算应变的难度（因为位移常常是有限元求解的场变量），以及这个应变是否能够有效地描述材料的本构关系。例如，如上所述，对数应变适用于弹塑性材料，而在大变形弹性分析（如橡胶等类似材料）中，直接使用拉伸比$\lambda$即可，不需要选择其他任何应变度量。

4 总结

这篇文章，直接把应变的核心说了出来，就是为了刻画变形选取的一种度量模式。至于这种度量模式是什么，取决于研究的问题。当然是以方便为主。这样，之前学习到的本构（比如胡克定律）都可以重新洗一洗啦。