动力学笔记01——共振频率和共振带的数学定义

文章目录

  • 0、背景描述
  • 1、正文
  • 2. 位移、速度、加速度的共振频率并不相同

0、背景描述

过去一年,我基本都在考虑塔架(尤其是混塔)频率仿真/模态分析的问题。关于这个问题,不仅有地基刚度,还有塔筒本身以及其他影响频率的因素(比如阻尼)。考虑到仿真准确(先不说能不能非常准确)并不能彻底解决这个问题,我也慢慢在考虑如何从根本上解决风电机组频率偏差带来的问题。

基于上面的考虑,最近偶尔也会涉猎一些动力学的知识。本篇文章是从微信公众号模态空间拿来的,感觉非常不错,所以录入,以防丢失。想要看原文的点击这里。

原文参考的图书是

谭祥军. 从这里学NVH——噪声、振动、模态分析的入门与进阶(第二版),机械工业出版社,2021

来自这里,有兴趣的也可以看一看。

1、正文

很多时候,我们都认为共振频率与固有频率是一个东西,但实质上讲,二者有着本质的区别。第一,描述的角度不同,固有频率是结构的固有属性,跟外界激励没有关系,因此,固有频率是从结构固有特性角度来描述的。而共振频率是从结构受外界激励产生的响应来描述的,共振是一种现象。或者说,在“输入-振动系统-输出”模型中,固有频率是振动系统的固有属性,而共振是系统的输出。第二,二者的计算公式也有差异,但差异很细微。正是因为差异细微,才导致我们普遍都认为二者是同一个概念。

在这,以最简单的单自由度(SDOF)系统为例来说明共振频率和共振带的定义。SDOF系统的质量为 m m m ,刚度为 k k k,粘性阻尼为 c c c,其传递函数 H ( s ) H(s) H(s)定义为:
H ( s ) = 1 m s 2 + c s + k = 1 / m s 2 + c s / m + k / m H(s)=\frac{1}{ms^2+cs+k}=\frac{1/m}{s^2+cs/m+k/m} H(s)=ms2+cs+k1=s2+cs/m+k/m1/m
对于欠阻尼系统求解这个系统的特征方程(分母),得到系统极点
λ , λ ∗ = − ζ ω n ± ( ζ ω n ) 2 − ω n 2 = ζ ω ± i ω d \lambda,\lambda^*=-\zeta \omega_n \pm \sqrt{(\zeta \omega_n)^2-\omega_n^2}=\zeta \omega \pm i \omega_d λ,λ=ζωn±(ζωn)2ωn2 =ζω±iωd
式中是 ζ \zeta ζ阻尼比, ω n \omega_n ωn 是无阻尼固有频率, ω d \omega_d ωd是有阻尼固有频率,定义分别如下 :
ζ = c 2 m k \zeta=\frac{c}{2 \sqrt{mk}} ζ=2mk c
ω n = k m 或者     f n = 1 2 π k m \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} \ \ \ \ 或者\ \ \ \ f_n=\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} ωn=mk     或者    fn=2π1mk
ω d = ω n 1 − ζ 2 或者     f d = f n 1 − ζ 2 \omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} \ \ \ \ 或者\ \ \ \ f_d = f_n \sqrt{1-\zeta^2} ωd=ωn1ζ2     或者    fd=fn1ζ2
将阻尼比和无阻尼固有频率代入传递函数中,有:
H ( s ) = 1 / m s 2 + c s / m + k / m = 1 / m s 2 + s 2 ζ ω n + ω n 2 H(s)=\frac{1/m}{s^2+cs/m+k/m}=\frac{1/m}{s^2+s2\zeta \omega_n+\omega_n^2} H(s)=s2+cs/m+k/m1/m=s2+s2ζωn+ωn21/m
我们知道,频响函数是传递函数在虚轴上的估计,即当 s = i ω = i 2 π f s=i\omega=i2\pi f s==i2πf 时,得到频响函数:
H ( f ) = 1 / m − ω 2 + i 2 ζ ω n ω + ω n 2 H(f)=\frac{1/m}{-\omega^2+i2\zeta \omega_n \omega+\omega_n^2} H(f)=ω2+i2ζωnω+ωn21/m
将上式分子分母同时除以 ω n 2 \omega_n^2 ωn2 ,且 ω ω n = f f n \frac{\omega}{\omega_n}=\frac{f}{f_n} ωnω=fnf ,整理得:
H ( f ) = 1 / k 1 − ( f f n ) 2 + i 2 ζ ( f f n ) H(f)=\frac{1/k}{1-(\frac{f}{f_n})^2+i2\zeta (\frac{f}{f_n})} H(f)=1(fnf)2+i2ζ(fnf)1/k

上式是动柔度(位移/力)的表达式。当激励频率等于无阻尼固有频率时,即 f = f n {f}={f_n} f=fn时 ,上式变成 :

H ( f ) = 1 i 2 k ζ = − i 2 ζ k H(f)=\frac{1}{i2k\zeta}=-\frac{i}{2\zeta k} H(f)=i2kζ1=2ζki

此时,频响函数是一个负值纯虚数,这表明在这个频率处,频响函数对应的相位是-90°或 ( − i -i i对应-90°)。这解释了为什么动柔度曲线的相位在固有频率处是-90°。

频响函数是复值函数,可以写成幅值与相位,或实部与虚部的形式。SDOF系统的频响函数的幅值 ∣ H ( f ) ∣ \left| H(f)\right| H(f)和相位 ∠ H ( f ) \angle H(f) H(f)为 :

∣ H ( f ) ∣ = 1 / k ( 1 − f f n ) 2 ) 2 + ( 2 ζ f f n ) 2 \left| H(f)\right|=\frac{1/k}{\sqrt{(1-\frac{f}{f_n})^2)^2+(2\zeta \frac{f}{f_n})^2}} H(f)=(1fnf)2)2+(2ζfnf)2 1/k

∠ H ( f ) = − a r c t a n ( 2 ζ f f n 1 − ( f f n ) 2 ) \angle H(f)=-arctan(\frac{2\zeta \frac{f}{f_n}}{1- \left ( \frac{f}{f_n}\right )^2} ) H(f)=arctan(1(fnf)22ζfnf)

我们知道,共振是指系统受到外界激励时产生大幅度振动的现象,把振动幅度最大时的激励频率称为共振频率。因此,频响函数幅值最大时的激励频率为共振频率。我们对频响函数的幅值进行微分,找到其导数等于0时对应的频率,此时,频响函数的幅值 ∣ H ( f ) ∣ \left| H(f)\right| H(f)有最大值。这个频率称为有阻尼共振频率,简称共振频率:
f m a x = f n 1 − 2 ζ 2 f_{max} = f_n\sqrt{1-2\zeta^2} fmax=fn12ζ2

上式有效,要求阻尼比 ζ ⩽ 1 / 2 ≈ 0.707 \zeta \leqslant 1/\sqrt{2} \approx 0.707 ζ1/2 0.707 。此时,频响函数的幅值峰值是 :

∣ H ( f m a x ) ∣ = 1 / k 2 ζ 1 − ζ 2 \left| H(f_{max})\right| = \frac{1/k}{2\zeta \sqrt{1-\zeta^2}} H(fmax)=2ζ1ζ2 1/k

对比一下,有阻尼共振频率与有阻尼固有频率:

f m a x = f n 1 − 2 ζ 2 f_{max}=f_n \sqrt{1-2\zeta^2} fmax=fn12ζ2

f d = f n 1 − ζ 2 f_{d}=f_n \sqrt{1-\zeta^2} fd=fn1ζ2

从计算公式上来看,有阻尼共振频率与有阻尼固有频率有细微的差别,体现在阻尼比前的系数。有阻尼共振频率略低于有阻尼固有频率,二者都低于无阻尼固有频率。阻尼越小,二者差异越小,因此,很多时候,都认为二者是同一个东西。

不管共振发生与否,结构的固有频率是不变的,而只有当外界的激励频率接近或等于系统的固有频率时,系统才出现共振现象。虽然很多情况下,都认为共振频率就是固有频率。但是,从上面的公式看出,二者还是有差别。共振现象不是出现在共振频率单值频率处,而是具有一定的频率宽度,如图1中所示,我们把这个频率宽度出现的共振频带,称之为共振带。也就是说,在共振频率附近存在一个频率区间,在这个区间内,结构很容易产生共振。共振带 B r B_r Br定义为半功率带宽3dB带宽,即 :
B r = f u − f l B_r=f_u - f_l Br=fufl
而下限频率 f l f_l fl和上限频率 f u f_u fu定义如下:
∣ H ( f l ) ∣ 2 = ∣ H ( f u ) ∣ 2 = 1 2 ∣ H ( f m a x ) ∣ 2 \left| H(f_l)\right|^2=\left| H(f_u)\right|^2=\frac{1}{2} \left| H(f_{max})\right|^2 H(fl)2=H(fu)2=21H(fmax)2
这个频率区间与半功率带宽求阻尼中的定义完全相同。

通过以上分析,我们明白以下几点:
1、从数学定义上来看,共振频率与固有频率有细微差别,二者不相等,共振频率略低于有阻尼固有频率;
2、由于阻尼通常很小,因此,也可以认为是同一个频率;
3、共振带定义为半功率带宽,即3dB带宽。

2. 位移、速度、加速度的共振频率并不相同

这部分内容来自原作者公众号这篇文章。感兴趣的可以关注原作者。
过程我就不一一敲公式了,直接放下面图片的结果吧。大致思路就是从位移频响函数出发,利用位移、速度、加速度的微分关系分别求取各自的频响函数,然后利用微分求极值的原理求取共振频率。
在这里插入图片描述

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