并查集的常见用途：求连通子图；克鲁斯卡尔算法；求最近公共祖先

三个基本操作：（1）makeSet：建立一个新的并查集，其中包含s个单元素的集合；

（2）unionSet(x,y)：把元素x和y所在的集合合并，并且x,y所在的集合不相交，如果相交则不合并；

（3）find(x)：找到x所在的集合的代表，该操作可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要比较它们各自集合的代表就可以；（什么是集合的代表）？

实现：用树来表示集合，树的每个结点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表。

树的结点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根结点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到根结点，也就是该集合的代表元素；

makeSet：就是建立一个数组，并赋初值，利用循环；

find 操作：如果每次都沿着父节点向上查找，那么时间复杂度就是树的高度，不可能达到常数级；

我们在这里需要采用一种策略：——路径压缩

路径压缩就体现在将所有的节点的父亲节点都变为根结点；

unsionSet操作：并查集的合并，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根；

合并的原则：按秩合并，使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根，简单的说就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中，为了保存秩，需要额外使用一个与uset同长度的数组，并将所有的元素都初始化为0；//这个秩不太好理解；

第二种方式：按集合中包含的元素个数（或者说树中的节点数）合并，将包含节点较少的树根，指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似，同样可以提升并查集的运行速度，而且省去了额外的 rank 数组。

这样的并查集具有一个略微不同的定义，即若 uset 的值是正数，则表示该元素的父节点（的索引）；若是负数，则表示该元素是所在集合的代表（即树根），而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示，同样包含递归和非递归的 find 操作：

这里不需要设立rank数组；

void UFset() // 初始化{for (int i = 0; i < n; i ++)parent[i] = -1;}int Find(int x)  // 查找并返回结点x所属集合的根结点{int s;    // 查找位置for (s = x; parent[s]>=0; s = parent[s]);  // 注意这里的 ;while (s != x)   // 优化方案 -- 压缩路径，使后续的查找{int tmp = parent[x];parent[x] = s;x = tmp;}return s;}// R1和R2是两个元素，属于两个不同的集合，现在合并这两个集合void Union (int R1, int R2){// r1位R1的根结点，r2位R2的根结点int r1 = Find(R1), r2 = Find(R2);int tmp = parent[r1] + parent[r2];   // 两个集合的结点个数之和（负数）//每添加一个节点，就将其parent更新为tmp,也就意味着其个数增加1；//一个边对应两个点，每次只对两个点进行操作，所以可以加1；只更新顶点的parent，//一开始是所有的顶点都可以作为集合的代表// 如果R2所在树结点个数 > R1所在树结点个数// 注意parent[r1]和parent[r2]都是负数if(parent[r1] > parent[r2])    // 优化方案 -- 加权法则{parent[r1] = r2;        // 将根结点r1所在的树作为r2的子树（合并）parent[r2] = tmp;       // 跟新根结点r2的parent[]值}else{parent[r2] = r1;         // 将根结点r2所在的树作为r1的子树（合并）parent[r1] = tmp;        // 跟新根结点r1的parent[]值}}

二.克鲁斯卡尔算法

最小生成树之克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 - gaoyanliang - 博客园 (cnblogs.com)

但是其实并查集只是按照顺序加边，没有比较边的权值这一过程，所以如果我们按照边的值从小到达进行排列的话，我们就只需要前面几条较小的边就能将所有的节点连接起来，最终得到最小的生成树；

sort函数的实现：根据cmp的结果，设置：是否交换

//在C语言中：利用qsort函数，直接对edge类型的数组中的weigjt进行排序；

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 假设edges是一个整数数组，我们要根据整数的大小进行排序 int cmpfunc(const void *a, const void *b){ return (*(int*)a - *(int*)b); } int main() { int edges[] = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5}; int m = 5; // 假设我们只想对前5个元素进行排序 // 注意：qsort会排序整个数组，但我们可以通过调整传入的元素数量来限制它的范围// 由于qsort没有直接的“开始索引”和“结束索引”参数，我们通常传递整个数组，但只在比较函数中处理我们关心的部分// 如果我们真的只想对前m个元素进行排序，并且这些元素之后的数据我们不想改变， // 那么我们需要复制前m个元素到一个新数组，对新数组进行排序，然后再复制回去。 // 但这里为了简单起见，我们直接对整个数组进行排序。// 使用qsort进行排序 qsort(edges, sizeof(edges) / sizeof(edges[0]), sizeof(int), cmpfunc); // 打印排序后的数组 for(int i = 0; i < sizeof(edges) / sizeof(edges[0]); i++) { printf("%d ", edges[i]); } return 0; }

在这里u,v表示的时一个边的两个顶点//——体现加边法这一特点；

因此在for循环中，循环的次数最多的给的是m——即为图的边数，而不是顶点数，区别于普利姆算法；

直到所有的顶点都加入到了一个集合中；

所以只要把并查集搞清楚，就能很容易地实现克鲁斯卡尔算法。