分治策略的实现

前言

分治策略的应用

最大子数组问题

矩阵乘法问题

求解递归式的三种方法

代入法求递归式

用递归树求递归式

主方法求递归式

前言

分治三个步骤：

分解：分解原问题为子问题，这些子问题为原问题的较小规模的问题。

解决：递归地解决这些子问题，如果规模小到一定程度，则直接得出答案。

合并：合并上述解决地子问题地解，得出最终解。

递归情况：当子问题规模比较大时，成为递归情况；

基本情况：当子问题规模不需要递归，已经触底时，此时称作基本情况。

递归式：刻画算法的运行时间的等式或者不等式，如归并排序中的最坏情况下的时间复杂

分治策略的应用

最大子数组问题

最大子数组：一个数组中的非空连续的数组元素和最大的集合成为最大子数组。

a[4] = {-1，-2，3，4};

数组a的子数组有{-1}，{-2}，{3}，{4}，{-1，-2}，{-2，3}，{3，4}，{-1，-2，3}，

{-2，3，4}，{-1，-2，3，4}.

其中{3,4}子数组的和为7，是这些数组中和最大的子数组。

代码：

#include "stdio.h"
#define MAXSIZE 100
#define MINNUM -10000
int *find_cross_max_subarray(int A[MAXSIZE], int low, int mid, int high);
int *find_maxium_subarray(int a[MAXSIZE], int low, int high);
int *max(int *x, int *y, int *z);
int result[3] = {0};void main() {int A[6] = {-1,3,-2,5,-4, 6};find_maxium_subarray(A, 0, 5);printf("%d, %d, %d", result[0], result[1], result[2]);
}int *find_cross_max_subarray(int A[MAXSIZE], int low, int mid, int high) {int sum = 0;int max_sum = 0;result[0] = MINNUM;for (int i = mid + 1; i <= high; i++){sum = sum + A[i];if(result[0] < sum) {result[0] = sum;result[2] = i;}}max_sum = result[0];result[0] = MINNUM;sum = 0;for (int i = mid; i >= 0; i--){sum = sum + A[i];if(result[0] < sum) {result[0] = sum;result[1] = i;}}result[0] = max_sum + result[0];return result;
}int *find_maxium_subarray(int a[MAXSIZE], int low, int high) {if(low == high) {result[0] = a[low];result[1] = low;result[2] = high;return result;}int mid = (low+high)/2;//int right_res[3] = {0};//int left_res[3] = {0};int *left_res = find_maxium_subarray(a, low, mid);int *right_res = find_maxium_subarray(a, mid+1, high);int *cross_res = find_cross_max_subarray(a, low, mid, high);return max(left_res, right_res, cross_res);}int *max(int *x, int *y, int *z) {int *max = x;if(x[0] > y[0]) {max = x;} else{max = y;}if (z[0] > max[0]) {max = z;}return max;
}

输出结果：

时间复杂度：O(n*lgn);

矩阵乘法问题

前提：由于矩阵需要能够被分解成4个子矩阵运算，所以Strassen算法的前提条件式矩阵的长和宽n是2的幂函数。

代码：

#include "stdio.h"
#define MAXSIZE 4void multiply_matrix(int a[MAXSIZE][MAXSIZE], int b[MAXSIZE][MAXSIZE], int c[MAXSIZE][MAXSIZE], int n, int i, int j);
int n = MAXSIZE;
void main() {int a[MAXSIZE][MAXSIZE] = {{1,2,3,4},{1,2,3,4},{1,2,3,4},{1,2,3,4}};int b[MAXSIZE][MAXSIZE] = {{1,1,1,1},{1,1,1,1},{1,1,1,1},{1,1,1,1}};int c[MAXSIZE][MAXSIZE] = {0};multiply_matrix(a, b, c, n, 0, 0);
}void multiply_matrix(int a[MAXSIZE][MAXSIZE], int b[MAXSIZE][MAXSIZE], int c[MAXSIZE][MAXSIZE], int n, int i, int j) {int length = n/2;if(n == 1) {c[i][j] = a[i][j]*b[i][j];} else {multiply_matrix(a, b, c, length, i, j);multiply_matrix(a, b, c, length, i, j + length);multiply_matrix(a, b, c, length, i + length, j);multiply_matrix(a, b, c, length, i + length, j + length);}}