Day44 动态规划part04

背包问题

暴力解法：每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是 $o(2^n)$ ，这里的n表示物品数量。
动态规划：dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
对于物品i：
- 不放物品i：由dp[i - 1][j]可知，即从下标为[0到i-1]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。也可以理解为背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]==dp[i - 1][j]。
- 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]可知，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
- 得到递推公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
初始化：
- 当j为0的时候，不管不放物品，背包中的价值都是0
- 当i为0的时候，即每次选择0物品放入各个大小的背包中，当且仅当j>=weight[i]才会有value[i]的价值

对于二维dp数组：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);如果在i维度进行叠加，即将i-1上的所有值拷贝到i上，递归公式变成：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
因此将二位dp数组变成一维数组，得到递归公式dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
- 一维dp数组的含义：重量为j的背包中装的价值最大的物品是dp[j]
二维dp数组的遍历顺序是从上到下从左到右
一维dp数组的遍历顺序
- i：0-》weight.length-1
- j：bagweight-》0
- j不是0-》bagweight是因为如果是正序遍历，背包重量j中的价值dp[j]可能等于dp[j-weight[i]]+value[i]，而dp[j-weight[i]]可能就已经蕴含了value[i]将重复计算
- j倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次，i的正序遍历是为了保证所有的物品都被判断过

只给定了一个数组，因此这个数组即是weight又是value
if(j<weight[i]) dp[j] = dp[j];else dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])可以转换为for(int j = n;j>=weight[i];j–)
剪枝操作：在第二层循环中加入if(dp[target]==target) return true;
代码