Day44 动态规划part04

背包问题

  1. 01背包问题:每件物品只能用一次
  2. 完全背包问题:每件物品可以使用无数次

01背包问题

  1. 暴力解法:每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是 o ( 2 n ) o(2^n) o(2n),这里的n表示物品数量。
  2. 动态规划:dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。
  3. 对于物品i:
    • 不放物品i:由dp[i - 1][j]可知,即从下标为[0到i-1]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。也可以理解为背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]==dp[i - 1][j]。
    • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]可知,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值
    • 得到递推公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
  4. 初始化:
    • 当j为0的时候,不管不放物品,背包中的价值都是0
    • 当i为0的时候,即每次选择0物品放入各个大小的背包中,当且仅当j>=weight[i]才会有value[i]的价值
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

01背包-滚动数组

  1. 对于二维dp数组:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);如果在i维度进行叠加,即将i-1上的所有值拷贝到i上,递归公式变成:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
  2. 因此将二位dp数组变成一维数组,得到递归公式dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
    • 一维dp数组的含义:重量为j的背包中装的价值最大的物品是dp[j]
  3. 二维dp数组的遍历顺序是从上到下从左到右
  4. 一维dp数组的遍历顺序
    • i:0-》weight.length-1
    • j:bagweight-》0
    • j不是0-》bagweight是因为如果是正序遍历,背包重量j中的价值dp[j]可能等于dp[j-weight[i]]+value[i],而dp[j-weight[i]]可能就已经蕴含了value[i]将重复计算
    • j倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次,i的正序遍历是为了保证所有的物品都被判断过
      在这里插入图片描述

LC416分割等和子集(未掌握)

  1. 只给定了一个数组,因此这个数组即是weight又是value
  2. if(j<weight[i]) dp[j] = dp[j];else dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])可以转换为for(int j = n;j>=weight[i];j–)
  3. 剪枝操作:在第二层循环中加入if(dp[target]==target) return true;
  4. 代码
    在这里插入图片描述

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