谱分析与傅里叶变换

对于一个信号，一方面可以从时域上对其进行分析，另一方面也可以从频域上对其进行认识，对信号进行频谱分析能够帮助我们了解能量在频域上的分布。

        确定性信号的能量通常是有限的，而平稳随机信号的能量通常是无限的，因此对于随机信号而言，我们通常不研究它的能量，而是研究它的功率，只要功率有限，就可以定义功率谱，功率谱的含义是将功率散布在不同的频率上。

周期图谱估计

1. 定义要求使用无限长度的数据得到相关值，然后再求功率谱，然而无限长度的数据是无法获取的。
2. 根据定义，相关是在固定时间上做统计平均，然而在现实中不能固定时间。解决这个问题的方法是用时间平均近似统计平均，这种近似的前提是yn 满足各态历经性。另外即使yn 满足各态历经性，估计精度也受到数据长度有限的约束。

周期图估计存在的问题

均值

1. 分辨率（Resolution）下降
2. 频谱泄露（Leakage）

增加数据长度N，上面的两个问题会有所改善。

方差

        至此，可以看出，周期图谱法的主要问题存在于方差之上。因为谱估计的均值存在的问题是分辨率降低和频谱泄露，但这两者可以通过增加采样数据可以有效改善。然而估计的方差与采样数据的长度无关，而且我们已经知道问题出现的原因是周期图谱估计中直接放弃了期望，所以为了改善方差，就必须想办法，将求期望再放回估计中。对于有限个数据N，为了模拟没忽略的求期望过程，可以将数据分成若干组，分别对每组数据进行估计，然后再求均值，这样可以明显改善估计的方差，但是由于数据段变短，对加剧估计均值中的分辨率问题和泄露问题，因此这里要根据实际需求，在均值和方差之间做一个合理的tradeoff。

小结

谱分析在信号处理中占有重要地位。对于确定性信号，以傅里叶分析为基础，用傅里叶积分或傅里叶级数表达信号的谱特征。对于随机信号，由于收敛性问题而无法直接对信号作傅里叶积分或傅里叶级数，通常，傅里叶积分或傅里叶级数作用在随机信号的相关函数上。相对于信号本身而言，信号的相关函数不是那么直接，但通过Wienner-Khinchine关系，就可以像处理确定性信号一样处理随机信号。但是对随信号作傅里叶积分或傅里叶级数后，得到的是一个随机变量，这就意味着每次试验的结果都是不一样的，存在较大的起伏和不确定性。那么这个随机变量能够多大程度地近似实际的谱特征呢？实际上，这个近似无论从均值上还是从方差上都存在问题。首先，对于均值，由于数据是有限的，谱估计会存在分辨率下降和频谱泄露的问题，幸运的是，这个问题可以通过增加数据长度得到有效改善。其次，对于方差，增加数据长度并不会减小方差，为了减小方差，我们只能把得到的有限的数据分成若干组进行处理，然后去平均。分的组越多，方差改善越明显，但是分的组越多，每段数据的长度就越短，分辨率和频谱泄露就会被恶化，因此这里我们要根据实际需要，做均值和方差之间的tradeoff。

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