不含一阶导数项的线性二阶微分方程的通解

假设这里有一个线性二阶微分等式，形式如下：

y^{''}+F(\theta)y=f(\theta)           （1）

其中F是连续的，f是在实闭区间是\theta_{0}\leq \theta \leq \theta_{f}连续的,如果有人倾向于推广，在相对假弱的假设下，这个结果能够被发现。如果\varphi_{1},\varphi_{2}是下列其次线性方程的任意两个线性无关的解

y^{''}+F(\theta)y=0                 （2）

于是，关于\varphi_{1},\varphi_{2}的朗斯基行列式被定义为\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{'}，很显然是一个常值\theta_{0}\leq \theta \leq \theta_{f}，因为

(\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{'})^{'}=\varphi_{1}\varphi_{2}^{''}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{''}=-F\varphi_{1}\varphi_{2}+F\varphi_{1}\varphi_{2}=0                     （3）

因为\varphi_{1},\varphi_{2}能够被任意非零的常数乘，它是可能的来归一化这些常值使其满足

\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{'}=1,\theta_{0}\leq\theta\leq\theta_{f}                     （4）

因此，\varphi_{1},\varphi_{2}代表线性方程（2）的线性独立解，并且满足（4）式。

引入一个新的函数，让我们联想到朗斯基行列式，但是与f有关，按如下形式定义：

w(f)=S(\varphi_{1}f)\varphi_{2}-S(\varphi_{2}f)\varphi_{1}           （5）

其中S(\varphi_{1}f)=\int_{\theta_{0}}^{\theta}\varphi_{1}(\tau)f(\tau)\textup{d}\tau,S(\varphi_{2}f)=\int_{\theta_{0}}^{\theta}\varphi_{2}(\tau)f(\tau)\textup{d}\tau

观察得到

\frac{\textup{d}^{2}w(f)}{\textup{d}\theta^{2}}=S(\varphi_{1}f)\varphi_{2}^{''}-S(\varphi_{2}f)\varphi_{1}^{''}+f         （6）

代入（1）式，可以得到w是该线性二阶微分方程的特解，于是，整个问题的解可以写为

y^{*}=c_{1}\varphi_{1}+c_{2}\varphi_{2}+w(f)              （7）

其中c_{1},c_{2}可以是任意的常数

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