1. 求下列函数的自然定义域

自然定义域就是使函数有意义的定义域。

常见自然定义域：

• 开根号$\sqrt{x}$：$x\ge 0$
• 自变量为分式的分母$\frac{1}{x}$：$x\ne 0$
• 三角函数$\tan x\cot x$：$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$
• 反三角函数$\arcsin x,\arccos x$：$-1\le x\le 1$
• 反三角函数$\arctan x$：$x\in R$
• 对数函数$\ln x$：$x>0$

(3) $y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}$
$$\begin{gathered} 解： \\ \{\begin{array}{l}x\ne 0,\\ 1-x^2\ge 0\end{array} \\ 得-1\le x\le 1且x\ne 0 \\ \therefore D=[-1,0)\cup (0,1] \end{gathered}$$
(8) $y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$
$$\begin{gathered} 解： \\ 该函数由y_1=\sqrt{3-x}与y_2=\arctan \frac{1}{x}复合而成，所以应同时满足 \\ \{\begin{array}{l}3-x\ge 0,\\ x\ne 0\end{array} \\ 得x\le 3且x\ne 0 \\ \therefore 定义域D=(-\infty ,0)\cup (0,3] \end{gathered}$$

2. 下列各题中，函数$f(x)和g(x)$是否相同？为什么？

函数相同满足条件：定义域相同；函数关系相同；

Tips: 变量符号可不同

（3） $f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},g(x)=x\sqrt[3]{x-1}$
$$\begin{gathered} f(x)与g(x)相同 \\ f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},x\in R \\ 化简得:f(x)=x\sqrt[3]{x-1} \\ g(x)=x\sqrt[3]{x-1},x\in R \\ 定义域相同，函数关系相同，所以f(x)与g(x)相同 \end{gathered}$$
(4)$f(x)=1,g(x)={\sec }^{2}x-{\tan }^{2}x$
$$\begin{gathered} 解： \\ f(x)定义域为:D_f=R \\ g(x)的定义域为D_g=(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi ),k\in Z \\ \therefore f(x)与g(x)不同 \end{gathered}$$

3. 分段三角函数值和图形

$$\varphi (x)=\{\begin{array}{l}|\sin x|,|x|<\frac{\pi }{3},\\ 0,|x|\ge \frac{\pi }{3}\end{array}$$

求$\varphi (\frac{\pi }{6}),\varphi (\frac{\pi }{4}),\varphi (-\frac{\pi }{4}),\varphi (-2)$，并做出函数$y=\varphi (x)$的图形
$$\begin{gathered} 解： \\ \varphi (\frac{\pi }{6})=|\sin \frac{\pi }{6}|=\frac{1}{2} \\ \varphi (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \varphi (-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \varphi (-2)=0 \end{gathered}$$
图形如下图所示：

4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：

（1）$y=\frac{x}{1-x},(-\infty ,1)$ (2) $y=x+\ln x,(0,+\infty )$
$$\begin{gathered} 证明： \\ (1)设置x_1,x_2\in (-\infty ,1),且x_1<x_2 \\ f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2} \\ =\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}<0 \\ \therefore y=\frac{x}{1-x}在区间(-\infty ,1)上单调递增 \\ （2）设置x_1,x_2\in (0,+\infty ),且x_1<x_2 \\ f(x_1)-f(x_2)=x_1+\ln x_1-(x_2+\ln x_2) \\ =(x_1-x_2)+\ln \frac{x_1}{x_2}<0 \\ \therefore y=x+\ln x在区间(0,+\infty )区间上单调递增 \end{gathered}$$

5. 奇偶性与单调性

设f(x)为定义在$(-l,l)$内的奇函数，若f(x)在$(0,l)$内单调增加，证明f(x)在$(-l,0)$内也单调递增
$$\begin{gathered} 证明： \\ 设x_1,x_2\in (0,l),且x_1<x_2 \\ 则-x_1,-x_2\in (-l,0),且-x_1>-x_2 \\ \because f(x)在(-l,l)内为奇函数，则 \\ f(x)=-f(-x) \\ f(x)在(0,l)内单调增加 \\ f(x_1)<f(x_2) \\ 即-f(-x_1)<-f(-x_2)=>f(-x_1)>f(-x_2) \\ 即f(x)在(-1,0)内也单调增加 \end{gathered}$$

6. 奇偶运算结果的奇偶性

只给结论，不再证明

1. 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。
2. 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

8.周期函数的周期

(3)$1+\sin (\pi x)$ 周期 2 (5)${\sin }^{2}x$
$$\begin{gathered} {\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2} \\ 周期为\pi \end{gathered}$$

9.求下列函数的反函数

(2)$y=\frac{1-x}{1+x}$
$$\begin{gathered} 解： \\ y=\frac{1-x}{1+x} \\ y(1+x)=1-x \\ yx+x=1-y \\ x=\frac{1-y}{1+y},y\ne -1 \\ {f}^{-1}(x)=\frac{1-x}{1+x},x\ne -1 \end{gathered}$$

(3) $y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\ne 0)$
$$\begin{gathered} 解： \\ y=\frac{ax+b}{cx+d} \\ y(cx+d)=ax+b \\ cyx-ax=b-dy \\ x=\frac{-dy+b}{cy-a} \end{gathered}$$
(6)$y=\frac{2^x}{2^x+1}$
$$\begin{gathered} 解： \\ y=\frac{2^x}{2^x+1} \\ {2}^x(1-y)=y \\ x={\log }_2(\frac{y}{1-y}) \\ {f}^{-1}(x)={\log }_2(\frac{y}{1-y}) \end{gathered}$$

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p16-18.

[2]同济《高等数学》第七版-课后题逐题讲解[CP/OL].2023-07-26.p1.