导语：相比矩阵，用四元数处理3D旋转的优势是毋庸置疑的，但由于概念复杂，难于理解，一直令我摸不着头脑。最近学习更是发现在机器人、无人机、SLAM等先进领域，四元数被当成实数、整数这样的基础，所以决定努力补一补这块的知识点。全部内容都来自B站/知乎上的大佬们，这只是本人学习有所感悟后，梳理出来的总结。

一、四元数是如何诞生的？

可能四元数的由来大家都看过很多遍。四元数（Quaternions），是由爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton,1805-1865）提出的，他最初的想法是：即然在实数上再扩展一个虚数，就能表示二维平面上所有的点，那么再扩展一个虚数是不是就可以表示三维空间上所有的点？这个想法简单写下来就是这样：z = a + b·i + c·j

但是用这个（三元数）方式去表示三维坐标，那么相乘的结果会得出一项  i · j ，两个不同维度的相乘是多少？如果 i · j 直接等于 -1，那么  i · i = -1， j · j = -1，那岂不是 i = j？

就上面这个问题，哈密顿思考了很久。有一天这位学者行走在大桥上，看着过往船只，突然灵光一闪，两个虚数不够，那就再多加一个！他立刻在桥边石碑上洋洋洒洒刻上几行大字，四元数就此诞生！

z = a + b·i + c·j + d·k

i ² = j ² = k ² = i·j·k = -1 

===============================片段分割线===============================

二、如何理解四元数映射到三维空间？

那么为什么是四元数呢，该如何理解四元数呢？我们注意它的唯一约束：

i ² = j ² = k ² = i·j·k = -1 

如何理解这组约束呢？一开始我不理解四元数的时候，只有死记硬背这 i·j·k = -1 ，前三个i ² = j ² = k ² = -1 这部分会被当成原来的虚数的概念去理解记忆。但其实四元数的关键就在于 ijk 如何通过 -1 与 i ² = j ² = k ²相关联

因为 i·j·k = -1，两边左乘一个 i，得 i ² ·j·k = -i，即-1·j·k = -i，即 j·k = i

同理可推：

i · j = k ，两边左乘 i，推得 -j =  i · k

j · k = i ，两边左乘 j，推得 -k = j · i

k · i = j ，两边左乘 k，推得 -i = k · j

上面的这些推导公式说明什么？暂时不能说明什么，因为还需要“上帝”来指引我们

e^ i·π = -1

没错，就是欧拉恒等式，它代表什么？它所表达的意思就是：如果我们在一个数字上乘以-1，实际上把这个数字在实轴上旋转了180°（想想实轴上的数字1，旋转π后，是不是停留在-1的位置上）那么如果不是旋转180°呢？那也没问题，把公式中的π换成θ，就可以得出数学历史上最著名的欧拉公式。

e^ i·θ = cos(θ) + i sin(θ)

欧拉公式很好的应用于二维平面上的旋转，那自然就会有人想：有没有可能用欧拉公式来表示三维空间的旋转呢？那么就要思考，在三维空间里的虚数是什么样子的？如果能找到一个三维空间的虚数，再应用于欧拉公式上不就可以了？

欸！三维虚数，是不是四元数里的三个虚部？还真没错，三维空间里的虚数 I₃ 如下表示：

 I₃ = a·i + b·j + c·k

三维欧拉公式

e^ i·θ = cos(θ) + sin(θ)·( a·i + b·j + c·k)

i ² = j ² = k ² = i·j·k = -1 

其中三维虚数还是满足 i ² = j ² = k ² = i·j·k = -1 这一组约束，也就是满足i · j = k那一组推导公式。三维虚数可以直接用三维的xyz坐标系去一一对应。那和原来的三维坐标系欧拉角又有什么不一样呢？关键来了：当上述约束的ijk映射三维坐标系的xyz轴，那么整个坐标系就自带旋转的属性了。如何理解这话？因为虚数的乘法对应几何就是旋转！秘密就在于上面（i · j = k）那六个推导公式。如下图所示，j 沿着 i 逆时针旋转90°就是 -k 了，即  j · i = -k，此时终于搞清楚了上述约束&推导式的伟大之处！

那如果不是90°的旋转呢？套用欧拉公式呗。比如现在要单位矢量 j 在ij轴所构成的平面上，沿着k轴旋转，如下图所示。那我们就可以利用欧拉公式：j · e^ k·θ

 j · e^ k·θ

= j · (cos(θ) + k · sin(θ))

= cos(θ) · j + sin(θ) · i

我们继续深入，上面的举例还是简单，因为旋转的只是一个单一的单位方向向量，正常情况都是三维表示法，也就是上面的 j 替换成 (i+j+k) 那会怎样呢？

 (i+j+k) · e^ k·θ

=  (i+j+k) · (cos(θ) + k · sin(θ))

= i·cos(θ) + i·k·sin(θ) + j·cos(θ) + j·k·sin(θ) + k·cons(θ) + k·k·sin(θ)

= (cos(θ)+sin(θ))·i + (cos(θ)-sin(θ))·j + cos(θ)·k - sin(θ)

注意运算的结果，出现了一项不带任何维度矢量的实数项，我比较菜，不理解这一项的关键点，但是在那些大数学家看来，这是一个非常危险的项啊！想想在一个三维空间上多出了一项值，它并不在这三维空间上的任意维度上，那它表示什么，第四维？暂时按下不表，接着往下。

===============================片段分割线===============================

三、几何层面的四元数。

经过上一节的概述，我们可以理解到四元数的性质非常有利于表达三维空间的旋转，所以了解四元数的性质要先于了解四元数在旋转中的应用。所以前两节的内容主要是阐述复数与四元数之间的关系，在深入探讨四元数的内核前，我觉得有必要先搞明白以下几个比较抽象的概念。

• 空间中的子空间：一般而言，空间（维度>2）都存在更低维的子空间，比如二维空间中一维子空间，也就是直线；三维空间中的一维子空间和二维子空间，也就是直线和面。当超过三维的概念我们就很难去想象是什么样子，但四维空间一定会存在三维子空间或二维子空间。我们这里会加一个前缀超（hyper）来形容这些空间，比如高维空间中的平面我们称为超平面。
• 空间和子空间的映射：我们将二维空间表示为(x,y)，当y=0时，其实可以看成是一维的，只不过它表示成(x,0)这种形式。推到四维，(w,x,y,z)，当w=0时，(0,x,y,z)就是一个三维子空间，这也是为什么我们可以用单位四元数对三维向量进行操作，其实我们是将三维向量映射到四维的三维子空间（w=0，这种形式也成纯四元数），然后对其进行旋转，最终得到的向量结果依然是这个三维子空间中的，因而可以映射回三维空间。
• 广义球：这里的球是广义上的。我们在二维平面上，广义球其实指代circle，三维空间上就是我们认知上的球，称为two-sphere，而四维空间中广义球其实是一个超球（hyper-sphere），又称为three-sphere。
• 约束与特征向量：空间中的一点由x, y, z等参数来表示，一般来说参数的数量与维数相等，二维空间的点用{x, y}参数，四维空间的点用{x, y, z, w}参数。但是对于空间的点加以约束，则该会减少参数的数量，比如三维空间的点在某一单位球面上，原本三个参数{x, y, z}才能表达的点现在只需要两个参数{u, v}就可以表达。如果{u, v}是单位向量，也可以称{u, v}是{x, y, z}的特征向量。

上述概念给了大家一个思路，四元数这样一个东西并不是一蹴而就的，从空间来说，它与我们熟知的低维空间本质上是没有区别的，或者说是有很大共性的。四元数的很多特性都是从低维拓展而来的，更具体的说是从复数这一概念拓展的。

结合第二节内容，现在可以归纳总结出以下四元数的特性：

1. 单位四元数是四维空间中一个超球上面的点，满足w²+x²+y²+z²=1；而纯四元数是四维空间在w=0时的一个子空间的点，形式为{0, q}，特别注意的是纯四元数与四元数是不同的概念。再展开来说：
   1.1：单位四元数（Unit Quaternion）是一个四元数，其模（或称为范数）等于1。四元数通常用于表示三维空间中的旋转角度，它可以避免万向锁问题，并且能提供平滑的插值方法。
   1.2：纯四元数（Pure Quaternion）是四元数的一个子集，它的实部为0，即其一般形式可以表示为 Q = 0 + xi + yj + zk = {0, q}，其中 x、y、z 是实数，而 i、j、k 是四元数的虚部单位。纯四元数在几何上可以被视为三维空间中的向量，其中 x、y、z 分别代表向量的三个分量。
2. 四元数是复数虚部扩展的结果，复数的虚部为1个，而四元数虚部有3个，且两两互相正交，其中实部是cosθ/2，而虚部为一个単位轴乘以sinθ/2。
3. 四元数自由度并没有四个维度，由于存在w²+x²+y²+z²=1这个约束，它的自由度其实只有3，且每个四元数可以对应一个特征向量，即n。但请记住四元数并不是与特征向量一一对应的，后文会有说。

这里先举个例子，三维的球用代数表示为x²+y²+z²=1，虽然球上面的点是由x，y，z三个参数来确定，但实际上我们只需要两个。假设取x和z表示，其中y可以通过x和z进行求解。那么，我们将y轴信息给隐去，只看投影平面，如下图所示。这张图的意思是，整个球在XOZ平面上投影是一个圆，当球面一点投影在圆上时，y=0；投影的位置位于圆内时，则分别两种情况，y>0处于北半球，y<0处于南半球。所以我们仅通过投影后的圆即可还原出整个球体。

让我们推广到四维，w²+x²+y²+z²=1中取x、y和z来表示超球。如下图所示，四维空间投影到三维超平面（w=0）可能是一个two-sphere。当投影点在整个two-sphere的边缘时，w一定为0，值得一提的是在这个空间内的四元数是一个纯四元数。当投影点落在two-sphere的内部时，也分为两种情况，w>0和w<0。但是我们可以发现这两种情况下对应的特征向量是一样的，所以我们将旋转矩阵向四元数转换时，是有两个对应值的，四元数的范围是2倍覆盖于3D旋转（2:1 mapping）。上面写的相对来说比较隐晦，但我觉得可以对理解四维空间和四元数相当有帮助。本文表述能力有限，如果实在看不懂的，可以翻阅《Visualizing Quaternions》第八章，个人觉得这是书中最为精彩的部分之一。

现在回头看第二节最后例子，我们甚至可以推广到任意三维向量绕任意轴进行旋转的基本通式：

三维任意向量：Q = 0 + xi + yj + zk = {0, q}

旋转轴：P = w + xi + yj + zk = {s, p}
即： {0, q} · e^{s, p}θ

但此时发现，三维虚数版本的欧拉公式适应不了单位四元数的运算，那要如何处理呢？请看下一篇详细探讨四元数的乘法。