【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/219/
【题目描述】
给出一个有向无环的连通图，起点为 1，终点为 N，每条边都有一个长度。
数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。
绿豆蛙从起点出发，走向终点。
到达每一个顶点时，如果有 K 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K。
现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点所经过的路径总长度的期望是多少？
【输入格式】
第一行: 两个整数 N，M，代表图中有 N 个点、M 条边。
第二行到第 1+M 行: 每行 3 个整数 a,b,c，代表从 a 到 b 有一条长度为 c 的有向边。
【输出格式】
输出从起点到终点路径总长度的期望值，结果四舍五入保留两位小数。
【数据范围】
1≤N≤10^5,
1≤M≤2N
【输入样例】
4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4
【输出样例】
7.00
【算法分析】
● 本题用到概率论中数学期望的线性性质：
● 设 f(x) 表示从节点 x 走到终点所经过的路径的期望长度。
若从 x 出发有 k 条边，分别到达 y1,y2,…,yk，边长分别是 z1,z2,…,zk，则根据数学期望的定义和性质，有：。示意图如下所示：
由于题目给定起点为 1，终点为 N，故分析得初始状态为 f[N]=0，目标状态是 f[1]。
● 链式前向星：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/126474608
链式前向星的核心代码模板如下所示：
void add(int a,int b) {e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}void add(int a,int b,int w) {val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}void dfs(int u) { //dfscout<<u<<" ";st[u]=true;for(int i=h[u]; ~i; i=ne[i]) { //~i; equivalent to i!=-1;int j=e[i];if(!st[j]) {dfs(j);}}
}void bfs(int u) { //bfsqueue<int>q;st[u]=true;q.push(u);while(!q.empty()) {int t=q.front();q.pop();cout<<t<<" ";for(int i=h[t]; ~i; i=ne[i]) { //~i; equivalent to i!=-1;int j=e[i];if(!st[j]) {q.push(j);st[j]=true; //need to be flagged immediately after being queued}}}
}
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=1e5+5;
const int M=2e5+5;int val[M],e[M],ne[M],h[N],idx;
int cdu[N];
double f[N];
int n,m;void add(int a,int b,int w) {val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}double dp(int u) {if(f[u]>=0) return f[u];f[u]=0;for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {int j=e[i];f[u]+=(val[i]+dp(j))/cdu[u];}return f[u];
}int main() {memset(h,-1,sizeof h);cin>>n>>m;for(int i=0; i<m; i++) {int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c);cdu[a]++;}memset(f,-1,sizeof f);printf("%.2lf\n",dp(1));return 0;
}/*
in:
4 4
1 2 1
1 3 2
2 3 3
3 4 4out:
7.00
*/
【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/145113/
https://www.acwing.com/solution/content/25991/
https://www.acwing.com/problem/content/video/219/
