【模板】模意义下的乘法逆元
题目描述
给定 n , p n,p n,p 求 1 ∼ n 1\sim n 1∼n 中所有整数在模 p p p 意义下的乘法逆元。
这里 a a a 模 p p p 的乘法逆元定义为 a x ≡ 1 ( m o d p ) ax\equiv1\pmod p ax≡1(modp) 的解。
输入格式
一行两个正整数 n , p n,p n,p。
输出格式
输出 n n n 行，第 i i i 行表示 i i i 在模 p p p 下的乘法逆元。
样例 #1
样例输入 #1
10 13
样例输出 #1
1
7
9
10
8
11
2
5
3
4
提示
1 ≤ n ≤ 3 × 1 0 6 1 \leq n \leq 3 \times 10 ^ 6 1≤n≤3×106， n < p < 20000528 n < p < 20000528 n<p<20000528。
输入保证 p p p 为质数。
思路
递推式的起点： 1 − 1 ≡ 1 ( m o d p ) 1^{-1}\equiv 1 \pmod{p} 1−1≡1(modp)（ i = 1 i=1 i=1时）。
对于 i ≥ 2 i\geq2 i≥2，设 p = k ∗ i + t p=k*i+t p=k∗i+t，则 k ∗ i + t ≡ 0 ( m o d p ) k*i+t\equiv 0 \pmod{p} k∗i+t≡0(modp)，
然后同时乘上 i − 1 , t − 1 i^{-1},t^{-1} i−1,t−1，则可以得到 k ∗ t − 1 + i − 1 ≡ 0 ( m o d p ) k*t^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod{p} k∗t−1+i−1≡0(modp)，
移项可得 i − 1 ≡ − k ∗ t − 1 ( m o d p ) i^{-1}\equiv -k*t^{-1} \pmod{p} i−1≡−k∗t−1(modp)，
由于 k = ⌊ p i ⌋ k=\lfloor\frac{p}i\rfloor k=⌊ip⌋， t = p % i t=p\%i t=p%i，
所以 i − 1 ≡ − ⌊ p i ⌋ ∗ ( p % i ) − 1 ( m o d p ) i^{-1}\equiv -\lfloor\frac{p}i\rfloor*(p\%i)^{-1} \pmod{p} i−1≡−⌊ip⌋∗(p%i)−1(modp)，
即 i − 1 ≡ p − ⌊ p i ⌋ ∗ ( p % i ) − 1 ( m o d p ) i^{-1}\equiv p-\lfloor\frac{p}i\rfloor*(p\%i)^{-1} \pmod{p} i−1≡p−⌊ip⌋∗(p%i)−1(modp)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e6 + 6;
ll inv[maxn];
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);ll n, p;cin >> n >> p;inv[1] = 1; // 初始化inv[1]cout << inv[1] << '\n';for (ll i = 2; i <= n; i++){inv[i] = p - p / i * inv[p % i] % p; // 递推求乘法逆元cout << inv[i] << '\n';}return 0;
}
