1.光流
光流法是计算机视觉中用于估计图像序列中物体运动的关键技术。它类似于观察夜空中的彗星，通过其在天空中的运动轨迹来追踪它的路径。在图像处理中，光流帮助我们理解像素点如何在连续的帧之间移动。
1.1 稀疏光流法
稀疏光流法关注于图像中的关键点（通常是角点或显著的特征点），并计算这些点在连续帧中的运动。Lucas-Kanade算法是这种方法的一个经典例子，它通过比较特征点在连续两帧中的灰度值变化来估计这些点的运动。Lucas-Kanade方法适用于跟踪图像序列中的局部运动，尤其是当特征点清晰且显著时。
1.2 稠密光流法
与稀疏光流法不同，稠密光流法计算图像中每个像素的运动，生成一个速度场，其中每个像素都有一个对应的运动向量。Horn-Schunck算法是稠密光流法的一个代表，它通过平滑约束来优化光流场，假设图像亮度在物体运动的方向上变化不大。
1.3 Lucas-Kanade光流
在Lucas-Kanade光流中，图像的灰度值被视为位置和时间的函数。对于一个固定空间点，尽管其在世界坐标系中的位置是固定的，但在图像平面上的像素坐标会随着相机的运动会发生变化。Lucas-Kanade算法通过最小化重投影误差来估计这些像素坐标的变化，即：
I ( x , y , t ) = I ( x + Δ x , y + Δ y , t + Δ t ) I(x, y, t) = I(x + \Delta x, y + \Delta y, t + \Delta t) I(x,y,t)=I(x+Δx,y+Δy,t+Δt)
其中， I ( x , y , t ) I(x, y, t) I(x,y,t)是在时间 t t t的图像中的灰度值， ( d x , d y ) (dx, dy) (dx,dy)是像素在图像平面上的位移，而 d t dt dt是时间间隔。通过建立一个关于位移 ( d x , d y ) (dx, dy) (dx,dy)的方程组，Lucas-Kanade算法可以估计出特征点的运动。
2. 光流基本假设推导过程
2.1. 光流法的基本假设：
光流法的基本假设是同一个空间点的像素灰度值，在各个图像中的是固定不变的。公式描述为：
I ( x , y , t ) = I ( x + Δ x , y + Δ y , t + Δ t ) I(x, y, t) = I(x + \Delta x, y + \Delta y, t + \Delta t) I(x,y,t)=I(x+Δx,y+Δy,t+Δt)
2.2. 泰勒展开：
对上式右侧进行泰勒展开，得到：
I ( x + Δ x , y + Δ y , t + Δ t ) ≈ I ( x , y , t ) + ∂ I ∂ x Δ x + ∂ I ∂ y Δ y + ∂ I ∂ t Δ t I(x + \Delta x, y + \Delta y, t + \Delta t) \approx I(x, y, t) + \frac{\partial I}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial I}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial I}{\partial t}\Delta t I(x+Δx,y+Δy,t+Δt)≈I(x,y,t)+∂x∂IΔx+∂y∂IΔy+∂t∂IΔt
2.3. 光流约束方程：
因为假设了灰度不变，即 I ( x , y , t ) I(x, y, t) I(x,y,t)不随 Δ x , Δ y , Δ t \Delta x, \Delta y, \Delta t Δx,Δy,Δt变化，因此有：
∂ I ∂ x Δ x + ∂ I ∂ y Δ y + ∂ I ∂ t Δ t = 0 \frac{\partial I}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial I}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial I}{\partial t}\Delta t = 0 ∂x∂IΔx+∂y∂IΔy+∂t∂IΔt=0
2.4. 速度和梯度：
将像素在 x 轴上的速度记为 u u u，在 y 轴上的速度记为 v v v，上述方程可以写为：
∂ I ∂ x u Δ t + ∂ I ∂ y v Δ t = − ∂ I ∂ t \frac{\partial I}{\partial x}u\Delta t + \frac{\partial I}{\partial y}v\Delta t = -\frac{\partial I}{\partial t} ∂x∂IuΔt+∂y∂IvΔt=−∂t∂I
2.5. 矩阵形式：
写成矩阵形式有：
[ I x I y ] [ u v ] = − I t \begin{bmatrix} I_x & I_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = -I_t [IxIy][uv]=−It
2.6. 超定线性方程组：
在 Lucas-Kanade 光流中，引入了新的假设作为约束，即某一个窗口内的像素具有相同的运动。考虑一个大小为 w × h w \times h w×h 的窗口，其包含 k k k个像素。因为假设该窗口内像素具有相同的运动，因此可以得到 k k k个方程：
[ I x 1 I y 1 I x 2 I y 2 ⋮ ⋮ I x k I y k ] [ u v ] = − [ I t 1 I t 2 ⋮ I t k ] \begin{bmatrix} I_x^1 & I_y^1 \\ I_x^2 & I_y^2 \\ \vdots & \vdots \\ I_x^k & I_y^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} I_t^1 \\ I_t^2 \\ \vdots \\ I_t^k \end{bmatrix} Ix1Ix2⋮IxkIy1Iy2⋮Iyk [uv]=− It1It2⋮Itk
记 A = [ I x 1 I y 1 ⋮ I x k I y k ] A = \begin{bmatrix} I_x^1 & I_y^1 \\ \vdots \\ I_x^k & I_y^k \end{bmatrix} A= Ix1⋮IxkIy1Iyk 和 b = [ I t 1 ⋮ I t k ] b = \begin{bmatrix} I_t^1 \\ \vdots \\ I_t^k \end{bmatrix} b= It1⋮Itk ，则方程组可以写为：
A [ u v ] = b A\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = b A[uv]=b
2.7. 最小二乘解：
该方程是关于 u u u 和 v v v 的超定线性方程组，可以使用最小二乘法求解：
[ u v ] ∗ = − ( A T A ) − 1 A T b \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}^* = -(A^TA)^{-1}A^Tb [uv]∗=−(ATA)−1ATb
值得注意的是，上述公式中的 I x , I y , I t I_x, I_y,I_t Ix,Iy,It 分别表示图像在该点的 x 方向梯度、y 方向梯度和时间方向的梯度。 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy是像素点在图像平面上的位移，而 Δ t \Delta t Δt 是时间间隔。 u u u和 v v v是像素点在 x 和 y 方向上的速度。
3.OpenCV中calcOpticalFlowPyrLK函数
OpenCV中calcOpticalFlowPyrLK方法使用迭代Lucas-Kanade算法计算稀疏特征点的光流，用来做特征点跟踪，该方法使用了金字塔，因此具有一定的尺度不变性。
函数原型：
void cv::calcOpticalFlowPyrLK( InputArray prevImg,InputArray nextImg,InputArray prevPts,InputOutputArray nextPts,OutputArray status,OutputArray err,Size winSize = Size(21, 21),int maxLevel = 3,TermCriteria criteria = TermCriteria(TermCriteria::COUNT+TermCriteria::EPS, 30, 0.01),int flags = 0,double minEigThreshold = 1e-4
);
prevImg:上一帧图像nextImg:下一帧图像prevPts:上一帧图像中关键点nextPts:根据光流计算的上一帧关键点在当前帧中的位置status:关键点的跟踪状态，vector,1表示OK,0表示LOSTerr:每个特征点的跟踪误差vector<float>有len(status)==len(nextPts)==len(prePts)==len(err)winSize:在每层金字塔中，LK算法中用来求解计算像素运动而假设具有相同运动的窗口大小。maxLevel:金字塔的层数，层数多，尺度不变性能更好，运算时间更久criteria:迭代搜索算法的终止条件,默认值表示在指定的最大迭代次数criteria.maxCount(30)之后或当搜索窗口移动小于criteria.epsilon(0.01)时终止迭代flags:设置误差或者初始值参数,可选下面两个值：-
OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW设置使用nextPts中的值作为迭代的初始值，如果不设置为OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW,初始状态就使用prevPts中的值，直接从prevPts复制到nextPts,OpenCV源码中对OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW的使用方式为:if( flags & OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW )nextPt = nextPts[ptidx]*(float)(1./(1 << level)); elsenextPt = prevPt;OPTFLOW_LK_GET_MIN_EIGENVALS,flags设置为这个值时使用光流运动方程2x2的正规矩阵，也即空间梯度矩阵的最小特征值作为误差项。如果不设置成OPTFLOW_LK_GET_MIN_EIGENVALS,将原始点和移动点周围像素的距离除以窗口中的像素作为误差项。
-
minEigThreshold:迭代LK算法会计算光流运动方程2x2的正规矩阵，也即空间梯度矩阵的最小特征值，然后再除以运动不变窗口中的像素总数作为一个误差评价标准，当其小于minEigThreshold时，说明这个点已经追踪不到了，会将其从追踪特征点中移除，避免其对应相素运动的计算，可提升性能。
calcOpticalFlowPyrLK通常和goodFeatureToTrack方法一起使用，先使用GFTTDetector提取特征点的位置，再使用calcOpticalFlowPyrLK追踪其在连续视频流中的位置，避免了特征描述子的计算和特征点的匹配，可以极大的提升追踪的性能。
c++实现：
#include <memory>
#include <vector>
#include <cstdlib>#include <opencv2/features2d.hpp>
#include <opencv2/opencv.hpp>// 定义一个名为TestOpticalFlowLK的类，用于处理光流跟踪
class TestOpticalFlowLK {public:// 使用std::shared_ptr来定义智能指针，便于管理类的实例typedef std::shared_ptr<TestOpticalFlowLK> Ptr;// 构造函数TestOpticalFlowLK();// 默认的析构函数// track函数用于处理特征点的跟踪void track(std::vector<cv::String> &filenames) const;private:// 使用cv::Ptr来定义一个智能指针，指向GFTTDetector对象cv::Ptr<cv::GFTTDetector> gftt_ptr_;
};// 实现TestOpticalFlowLK类的构造函数
TestOpticalFlowLK::TestOpticalFlowLK()
{// 初始化GFTTDetector对象，用于特征点检测gftt_ptr_ = cv::GFTTDetector::create(500, 0.2, 50);
}// 实现track函数，用于处理特征点的跟踪
void TestOpticalFlowLK::track(std::vector<cv::String> &filenames) const
{// 确保filenames至少有一个元素assert(filenames.size() > 1);// 存储检测到的特征点std::vector<cv::KeyPoint> kps1;// 存储上一帧和当前帧中特征点的位置std::vector<cv::Point2f> pts1, pts2;// 存储绘制特征点时使用的颜色std::vector<cv::Scalar> colors;// 读取第一帧图像，并初始化last_imgcv::Mat last_img = cv::imread(filenames[0], 0), cur_img;// 创建一个掩码，用于绘制特征点cv::Mat mask(last_img.size(), CV_8UC1, 255);// 使用GFTTDetector检测第一帧图像中的特征点gftt_ptr_->detect(last_img, kps1, mask);// 遍历所有检测到的特征点for(auto &kp : kps1) {// 为每个特征点生成一个随机颜色int r = (int)(255. * rand() / (RAND_MAX + 1.f));int g = (int)(255. * rand() / (RAND_MAX + 1.f));int b = (int)(255. * rand() / (RAND_MAX + 1.f));// 输出随机颜色的值std::cout << "r:" << r << "g:" << g << "b:" << b << std::endl;// 将颜色添加到colors数组中colors.emplace_back(r, g, b);// 将特征点的位置添加到pts1和pts2数组中pts1.push_back(kp.pt);pts2.push_back(kp.pt);}// 存储特征点的跟踪状态std::vector<uchar> status;// 存储每个特征点的跟踪误差std::vector<float> err;// 将掩码转换为BGR格式，以便绘制cv::cvtColor(mask, mask, cv::COLOR_GRAY2BGR);// 创建一个Mat对象，用于存储绘制特征点后的图像cv::Mat frame;// 遍历所有提供的图像文件名for (auto &filename : filenames){// 输出当前处理的文件名std::cout << "filename: " << filename << std::endl;// 读取当前帧图像cur_img = cv::imread(filename, 0);// 使用calcOpticalFlowPyrLK计算特征点的光流cv::calcOpticalFlowPyrLK(last_img,cur_img,pts1,pts2,status,err,cv::Size(13, 13),3,cv::TermCriteria(cv::TermCriteria::COUNT + cv::TermCriteria::EPS, 30, 0.01),cv::OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW);// 将当前帧图像转换为BGR格式cv::cvtColor(cur_img, cur_img, cv::COLOR_GRAY2BGR);int cnt = 0; // 用于计数成功跟踪的特征点数量// 遍历所有特征点for(size_t i = 0; i < status.size(); i++) {// 输出当前特征点的跟踪误差std::cout << " " << err[i];// 如果特征点未成功跟踪，则跳过if(!status[i]) continue;// 如果特征点的移动距离超过80像素，则跳过if(abs((pts1[i].x - pts2[i].x)) > 80 || abs((pts1[i].y - pts2[i].y)) > 80) continue;// 在掩码上绘制特征点之间的连线cv::line(mask, pts1[i], pts2[i], colors[i], 2);// 在当前帧图像上绘制特征点cv::circle(cur_img, pts2[i], 10, colors[i], 1);// 更新pts1中的坐标为pts2中的坐标pts1[i].x = pts2[i].x;pts1[i].y = pts2[i].y;// 增加成功跟踪的特征点计数cnt += 1;}// 输出每帧成功跟踪的特征点数量std::cout << std::endl;// 将掩码和当前帧图像混合，以便同时显示原始图像和特征点cv::addWeighted(mask, 0.5, cur_img, 0.5, -65, frame);// 显示混合后的图像cv::imshow("frame", frame);// 等待用户按键，0表示无限等待cv::waitKey(0);// 更新last_img为当前帧图像cv::cvtColor(cur_img, cur_img, cv::COLOR_BGR2GRAY);last_img = cur_img;// 保存混合后的图像到文件cv::imwrite("frame.png", frame);}
}
Python 代码：
import cv2
import numpy as np
import randomclass TestOpticalFlowLK:def __init__(self):# 初始化GFTTDetector对象，用于特征点检测self.gftt_ptr_ = cv2.GFTTDetector_create(500, 0.2, 50)def track(self, filenames):assert len(filenames) > 1, "At least one filename is required"last_img = cv2.imread(filenames[0], 0)kps1 = self.gftt_ptr_.detect(last_img)pts1 = np.array([kp.pt for kp in kps1], dtype='float32')pts2 = np.zeros((len(pts1), 2), dtype='float32')colors = [((random.randint(0, 255), random.randint(0, 255), random.randint(0, 255)) for _ in range(len(kps1)))]status = np.zeros((len(pts1),), dtype='uint8')err = np.zeros((len(pts1),), dtype='float32')for filename in filenames[1:]:print("Processing file:", filename)cur_img = cv2.imread(filename, 0)pts2, status, err = cv2.calcOpticalFlowPyrLK(last_img, cur_img, pts1, pts2, None, winSize=(13, 13), maxLevel=3,criteria=(cv2.TERM_CRITERIA_COUNT | cv2.TERM_CRITERIA_EPS, 30, 0.01),flags=cv2.OPTFLOW_USE_INITIAL_FLOW)img = cv2.cvtColor(cur_img, cv2.COLOR_GRAY2BGR)for i, (pt1, pt2, stat) in enumerate(zip(pts1, pts2, status)):if stat:# 确保坐标是一维数组pt1 = pt1.reshape(-1)pt2 = pt2.reshape(-1)cv2.line(img, (int(pt1[0]), int(pt1[1])), (int(pt2[0]), int(pt2[1])), (255), 2)cv2.circle(img, (int(pt2[0]), int(pt2[1])), 10, (127), 1)pts1 = pts2.copy()last_img = cur_imgcv2.imshow("frame", img)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()if __name__ == "__main__":# 假设我们有一个包含图像文件路径的列表filenames = ['data/00001.jpg', 'data/00001.jpg', 'data/00002.jpg','data/00003.jpg'] # 以此类推flow_tracker = TestOpticalFlowLK()flow_tracker.track(filenames)
