一、 什么是范数

范数（Norm）是数学中用于衡量向量大小(或距离)的一种概念。在几何和代数中，范数可以提供一个向量长度或大小的量度。更正式地说，范数是一个函数，它将向量的集合映射到非负实数，满足以下性质：

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样

二、 L1范数——曼哈顿范数（Manhattan Norm）

表示向量各元素的绝对值之和，它对应于在坐标轴上移动到向量端点所需的最小步伐数。

使用 L1范数可以度量两个向量间的差异，如绝对误差和（Sum of Absolute Difference）：。

由于L1范数的天然性质，对L1优化的解是一个稀疏解， 因此L1范数也被叫做稀疏规则算子。 通过L1可以实现特征的稀疏，去掉一些没有信息的特征，例如在对用户的电影爱好做分类的时候，用户有100个特征，可能只有十几个特征是对分类有用的，大部分特征如身高体重等可能都是无用的，利用L1范数就可以过滤掉。

2.1 L1范数的性质

• 稀疏性：L1范数倾向于产生稀疏解，即解中的许多元素为零。这在某些情况下非常有用，比如在稀疏编码或压缩感知中。
• 线性：L1范数是一个线性算子，意味着它满足线性性质，即对于任意标量 α和向量 𝑥 和𝑦，有∣∣𝛼𝑥+𝑦∣∣=∣𝛼∣⋅∣∣𝑥∣∣+∣∣𝑦∣∣。
• 次梯度：L1范数不是处处可微的，因为它在原点处有一个尖角。但是，它具有次梯度（subgradient），这允许在优化问题中使用它，即使它不是处处可微的。

2.2 L1范数的应用

• 稀疏编码：在机器学习中，L1正则化（Lasso回归）通过惩罚较大的系数来促进特征选择和稀疏解。
• 压缩感知：在信号处理中，L1范数用于从少量的随机测量中恢复稀疏信号。
• 优化问题：在许多优化问题中，L1范数被用作正则化项，以防止模型过拟合。

在OpenCV中，cv2.norm() 函数可以用来计算两个点集之间的L1范数距离，通过指定 cv2.NORM_L1 作为参数。这在比较图像或点集时特别有用，尤其是在需要稀疏解的情况下。

三、 L2范数——欧几里得范数（Euclidean Norm）

表示向量元素的平方和再开平方，这是最直观的向量长度定义，对应于我们通常所说的“长度”。。

距离欧氏距离就是一种L2范数，如小学学过的求坐标轴上P(x,y)与坐标原点o的距离。
像L1范数一样，L2也可以度量两个向量间的差异，如平方差和（Sum of Squared Difference）:（或者可以理解为两点之间的距离）

3.1 L2范数的性质：

3.2 L2范数的应用：

• 几何距离：L2范数在几何上表示两点之间的直线距离，因此常用于计算两点之间的距离。
• 优化问题：在优化问题中，L2范数用作正则化项，有助于控制模型的复杂度，防止过拟合。这种方法被称为L2正则化或Ridge Regression。
• 机器学习：在机器学习算法中，如线性回归和支持向量机，L2范数用于惩罚模型参数的大值，从而促进模型的平滑性和泛化能力。

在OpenCV中，可以使用cv2.norm()函数计算两个点集之间的L2范数距离，通过指定cv2.NORM_L2作为参数。这在比较图像或点集时特别有用，尤其是在需要考虑真实距离或误差时。

3.3 与L1范数的比较：

• L1范数（曼哈顿距离）是向量元素绝对值之和，它在几何上表示在坐标轴上移动到向量端点所需的最小步伐数。
• L2范数与L1范数相比，通常会产生更平滑的解，而L1范数则倾向于产生稀疏解（即解中的许多元素为零）。

四、 L∞范数——最大值范数（Maximum Norm）

表示向量所有元素绝对值的最大值。

五、 总结

5.1 范数的一般形式：L-P范数

当 p=2 时，它是欧几里得范数；当 p=1 时，它是曼哈顿范数；当 𝑝→∞时，它是最大值范数。

在实际应用中，选择哪种范数取决于问题的特性和所需的解的性质。例如，L1范数促进稀疏解，而L2范数则倾向于产生平滑解。其他p-范数可能在需要特定平衡时使用。

5.2 L1正则化产生稀疏的权值, L2正则化产生平滑的权值为什么会这样？

在支持向量机学习过程中，L1范数实际是一种对于成本函数求解最优的过程，因此，L1范数正则化通过向成本函数中添加L1范数，使得学习得到的结果满足稀疏化，从而方便提取特征。
L1范数可以使权值稀疏，方便特征提取。 L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。

5.3 L1和L2正则先验分别服从什么分布

L1服从拉普拉斯分布，L2服从高斯分布。

六、 参考

https://blog.csdn.net/qq_37466121/article/details/87855185