树（Tree）和二叉树

1.树的定义
树是一种非线性的数据结构，它表现的关系是一对多

它是由n（n>=0）个结点组成的有限集，当n = 0时，称为空树。

在任意一棵非空树中应满足：

1.有且仅有一个特殊的根节点，根节点没有前驱结点

2.每一个非根结点有且只有一个父结点；

除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树，并且子树是不相交的

3.树是递归定义的

4.一颗N个结点的树有N-1条边

2.一些树的关键词定义
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度
树的深度：一棵树中节点的最大深度就是树的深度，也称为高度
父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
节点的层次：从根节点开始，根节点为第一层，根的子节点为第二层，以此类推
兄弟节点：拥有共同父节点的节点互称为兄弟节点
叶子节点：度为零的节点就是叶子节点
祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林：m颗互不相交的树构成的集合就是森林

3.树的存储结构
（1）双亲表示法（2）孩子表示法（3）孩子兄弟表示法

（1）双亲表示法

在每个节点中，有一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置，

使其每个结点，不但知道自己是谁，而且知道双亲位置

（2）孩子表示法

将每个结点的孩子结点排序，以单链表存储，则n个结点有n个孩子链表

并且如果是叶子结点，这个单链表为空

然后将每个单链表的头指针组成一个线性表，顺序存储放入数组中

（3）孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

这样也就把这个树变成了二叉树

4.二叉树的定义
二叉树是结点的一个有限集合，该集合为空，或者是由一个根节点加上两棵称为左子树和右子树的二叉树组成。

需要注意的是

（1）每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
（2）二叉树是有序树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

5.满二叉树和完全二叉树
（1）满二叉树

如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。

特点

满二叉树中第 i 层的节点数为 2n-1 个。
深度为 k 的满二叉树必有 2k-1 个节点，叶子数为 2k-1。
满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层。
具有 n 个节点的满二叉树的深度为 log2(n+1)。
（2）完全二叉树

如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

满二叉树是一种特殊的完全二叉树

n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1。

6.二叉树的性质
（1）在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）

（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）

可以看上面的图，深度为4，一共有2^4 -1= 15个结点

（3）对于任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

（4）具有n个节点的完全二叉树深为log2x+1（其中x表示不大于n的最大整数）

（5）如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2n]+1）的结点按层序编号（从层到[log2n]+1层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）:
如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲，如果i>1,则其双亲结点是结点[i/2]
如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）否则左孩子是结点2i。
如果2i+1>n,则结点i无右孩子，否则其右孩子是结点2i+1.

下面看几个练习题

1.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A ）

A n
B n+1
C n-1
D n/2
一共有2n个结点也就是偶数个结点，那么一定存在一个度为1的结点
所以就有 2n = n0+n2+1 n0 = n2+1
所以就有 2n = n0+n0-1+1 —>n = n0
2. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
n2 = 199 n0=n2+1=200
3.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ B ）
A 11
B 10
C 8
D 12
k=log2 531 +1 取10
4.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ B ）
A 383
B 384
C 385
D 386
767个结点是奇数，那么度为1的结点没有
所以就是 767 = n0+n2 n0 = n2+1
所以就有767 = n0+n0-1 n0 = 384
7.二叉树的存储方式
二叉树的存储方式有顺序存储和类似于链表的链式存储

二叉树的类似于链式存储是，一个一个节点引用起来的，这两种具体结构前面树已经提过了

（1）孩子表示法

class Node { 
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 
}

（2）孩子双亲表示法

class Node { 
int val; // 数据域 
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 
Node parent; // 当前节点的根节点 
}

8.二叉树的基本操作
8.1 二叉树的4种遍历方式

用代码将上面的这个二叉树结构穷举一遍

static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;public TreeNode(char val) {this.val = val;}
}
//二叉数的根节点
public TreeNode root;public void createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;this.root = A;
}

（1）前序遍历（根–>左–>右）

先访问一棵树的根节点，再访问左子树，最后访问右子树。

上面的遍历次序就是 A -> B -> D -> E -> H -> C -> F -> G

void preOrder(TreeNode root) {if (root == null) return;System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);
}

（2）中序遍历（左–>根–>右）

先访问一棵树的左子树，再访问根节点，最后访问右子树。

上面的遍历次序就是 D -> B -> E -> H -> A -> F -> C -> G

void inOrder(TreeNode root) {if (root == null) return;inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);}

（3）后序遍历（左–>右–>根）

先访问一棵树的左子树，再访问右子树，最后访问根节点。

上面的遍历次序就是 D -> H -> E -> B -> F -> G -> C -> A

void postOrde(TreeNode root) {if (root == null) return;postOrde(root.left);postOrde(root.right);System.out.print(root.val + " ");}

（4）层序遍历

先访问第一层的根结点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着访问第三层的结点。

8.2 二叉树的基本操作
（1）获取树中结点的个数size()

两种思路

子问题：先遍历左边的树，再遍历右边的树，不为null就++

遍历递归思路：只要不为null就给sizeNode++

//1.子问题思路int size(TreeNode root) {if(root == null) return 0;return size(root.left) + size(root.right) + 1;
}
//2.遍历递归思路
public static int sizeNode;
void size2(TreeNode root){if(root == null) return;sizeNode++;size2(root.left);size2(root.right);
}

（2）获取叶子结点的个数getLeafNodeCount()

还是两种思路

子问题：左树的叶子+右树的叶子 = 整棵树的叶子

遍历递归思路：遍历到叶子就++

判断是不是叶子的条件是root.left == null && root.right == nul

//1.子问题

int getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root == null) return 0;if (root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);}

//2.遍历递归

    public static int leafSize;void getLeafNodeCount2(TreeNode root){if(root == null) return ;if (root.left == null && root.right == null) {leafSize++;}getLeafNodeCount2(root.left);getLeafNodeCount2(root.right);}

（3）获取第K层结点的个数getKLevelNodeCount()

int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {if(root == null) return 0;if (k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

（4）获取二叉树的高度getHeight()\

二叉树的高度–》左树高度和右树高度最大值+1

int getHeight(TreeNode root) {if(root == null) return 0;int leftHight = getHeight(root.left);int rightHight = getHeight(root.right);return (leftHight > rightHight ?leftHight + 1 :rightHight + 1);
}

时间复杂度O（N）

（5）检测值为value的元素是否存在fifind()

先看根是不是要找到元素，如果不是在左子树找，还不是就右子树找

TreeNode find(TreeNode root, int val) {if(root == null) return null;if(root.val == val) {return root;}TreeNode ret1 = find(root.left,val);if (ret1 != null) {return ret1;}TreeNode ret2 = find(root.right,val);if (ret2 != null) {return ret2;}return null;}

（6）层序遍历levelOrder()

void levelOrder(TreeNode root) {if (root == null) return;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();//现将根节点放进队列中queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val + " ");//只要子树的左右节点不为null就给队列里面放if (cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if (cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}System.out.println();
}

（7）判断一颗树是不是完全二叉树isCompleteTree()

在判断一颗树是不是完全二叉树前，先要明白，给队列中放元素放null

此时这个队列不为null

boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if (root == null) return true;Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if (cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break;}}while(!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.peek();if (cur != null) {return false;}else {queue.poll();}}return true;
}

、