数据结构-图-最短路径问题

最短路径问题

  • 单源最短路径
    • Dijkstra
      • 算法原理
      • 代码实现
    • Bellman-Ford
      • 算法原理
      • 代码实现
      • SPFA优化
      • SPFA代码实现
  • 多元最短路径
    • Floyd-Warshall
      • 算法原理
      • 代码实现

单源最短路径

🚀最短路径:从图G的某个顶点出发到达另一个顶点的最短路径,其中最短是指路径上边的权值和最小。
🚀单源最短路径:从图G中的某一顶点出发到达其余顶点的最短路径。

Dijkstra

算法原理

🚀针对一个带权有向图,将所有的顶点划分为两个集合S和Q,S是已经确定最短路径的顶点结合,Q是还未确定最短路径的顶点集合。每次从Q中找出一个从起点s到达该结点代价最小(权值和最小)的结点u(可见迪杰斯特拉算法同样采取的是贪心策略),将u从集合Q中移除,并放入S中,对u所邻接的顶点做一次松弛操作。松弛操作即对结点u的邻接点v,判断从起点s到u的代价+u到v的代价是否小于s到v的代价,若小于那么对s到v的代价替换为s到u的代价+u到v的代价。这样依次从Q中选出结点u,直到Q为空为止。

算法特点:比较与其他最短路径的算法,迪杰斯特拉算法的效率较优。但是,此算法只能用于没有负权值的图。

在这里插入图片描述

源点为s,即求s到达其他顶点的最短路径。在初始时,s到达其他边的路径长度均为无穷大 ,到达自身的距离为0。

算法执行过程

在这里插入图片描述

代码实现

void Dijkstra(const V& src, std::vector<W>& dist, std::vector<int>& parent_path) {//初始化工作size_t n = _vertex.size();size_t srci = this->GetVertexIndex(src);dist.resize(n, W_MAX);dist[srci] = 0;parent_path.resize(n, -1);std::vector<bool> S(n, false); //已选出的顶点集合Sfor (size_t i = 0; i < n; i++) {//从dist中选出最短的一条边,S->usize_t u = -1;W min_eg = W_MAX;for (size_t j = 0; j < n; j++) {if (dist[j] < min_eg && false == S[j]) {u = j;min_eg = dist[j];}}//将这个顶点添加到S集合中S[u] = true;//更新从起始点srci能够到达的其他点的最短路径dist数组for (size_t i = 0; i < n; i++) {if (_matrix[u][i] != W_MAX && false == S[i] && dist[u] + _matrix[u][i] < dist[i]) {dist[i] = dist[u] + _matrix[u][i];parent_path[i] = u;}}}
}

dist数组和parent_path数组解释:将源点s到达其他顶点的最短路径数值存储在dist数组中,dist[i]即为源点s到达i号顶点的最短距离。parent_path数组用来记录源点s到达其他顶点的最短路径,采用的是双亲表示法,即该结点存储的内容为源点s到达这个结点路径上的上一个结点的下标。

🚀上面例子中最终两个数值的内容如下:

在这里插入图片描述

Bellman-Ford

算法原理

🚀迪杰斯特拉算法不能解决带负权值路径的情况,贝尔曼算法可以解决这一问题。相比于迪杰斯特拉的贪心策略,贝尔曼算法是一种较为暴力的解法,即对每一个结点都做一次松弛操作,但是一轮松弛操作往往不能得到最终结果,存在最短路径于最短路径权值和对应不上的情况,所以要经过多轮更新才能得到最终结果。最多轮次为n-1轮(n:顶点个数),如果说第n轮更新还能有顶点松弛成功说明存在权值和为负数的环路情况,这种情况贝尔曼算法也是解决不了的(权值和为负数的环路意味着每轮更新都能得到一个更小的结果,是无休止的)。

只经过一轮更新不能的到最终结果的例子

在这里插入图片描述

产生上图中这样结果的原因在于更新源点s到达z顶点的最短路径是由对t顶点的邻接顶点做松弛操作得到的,但是在更新源点s到达z的最短路径之后,在对x的邻接顶点做松弛操作的时候,又重新修改了源点s到达t顶点的最短路径,此时在parent_path数组中t位置的数据修改成了x的下标,同样也因此导致了s到达z顶点的路径于路径上的权值和不一致的情况。所以要对t的邻接顶点重新做一次松弛操作,上面这种情况再对t的邻接顶点做一次松弛操作就可以解决问题,但是对于其他更为复杂的问题可能仍旧需要新一轮的松弛操作。那么,松弛操作轮数的上限是多少次呢?n - 1次因为源点出发到达另一个顶点的最短路径至多经过n - 1条边,所以至多经过n - 1轮的更新就能得到最终结果,但是如果第n轮时仍旧存在到达某个点的最短路径发生了更新,那么就说明存在权值和为负数的环路问题。

代码实现

bool Bellman(const V& src, std::vector<W>& dist, std::vector<int>& parent_path) {//初始化结构size_t n = _vertex.size();size_t srci = this->GetVertexIndex(src);dist.resize(n, W_MAX);dist[srci] = 0;parent_path.resize(n, -1);//寻找最短路径for (size_t k = 0; k < n - 1; ++k) {bool update = false;//update小的优化--如果此轮更新中没有任何一条边松弛成功,此时就可以break退出std::cout << "第" << k + 1 << "轮更新: \n";for (size_t i = 0; i < n; i++) {for (size_t j = 0; j < n; j++) {if (_matrix[i][j] != W_MAX && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) {update = true;dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];std::cout << i << "->" << j << ":" << dist[j] << std::endl;parent_path[j] = i;}}}if (false == update) {break;}}//如果经过n-1轮还能进行更新说明出现了负权值环路问题for (size_t i = 0; i < n; i++) {for (size_t j = 0; j < n; j++) {if (_matrix[i][j] != W_MAX && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j]) {return false;}}}return true;
}

SPFA优化

🚀在上面分析一轮的松弛操作可能不能得到最终结果的问题时,解决方案就是再对t顶点的邻接顶点做一次松弛操作即可,并不用再对其他顶点做一次松弛操作,也就是说如果要在下一轮中再次对某个顶点的邻接顶点做松弛操作,那么这个顶点一定在本轮中得到了最短路径的更新,否则其不会对其他顶点产生影响。

🚀SPFA算法就是对上面代码中写的贝尔曼算法的一个优化,就是说如果要在下一轮中再次对某个顶点的邻接顶点做松弛操作,那么这个顶点一定在本轮中得到了最短路径的更新,所以在第一轮更新中所有顶点都需要更新,把所有的顶点都入队列,在后续的更新中,如果某个顶点在本轮没有被更新那么其也不会对其他顶点产生影响,就不用再次入队列,相反需要再次入队列, 这样循环置队列为空即可。

SPFA代码实现

void BellmanSPFA(const V& src, std::vector<W>& dist, std::vector<int>& parent_path) {//初始化结构size_t n = _vertex.size();size_t srci = this->GetVertexIndex(src);dist.resize(n, W_MAX);dist[srci] = 0;parent_path.resize(n, -1);std::queue<size_t> q;std::vector<bool> flag(n, false);q.push(srci);flag[srci] = true;while (!q.empty()) {size_t top = q.front();q.pop();flag[top] = false;for (size_t i = 0; i < n; i++) {if (_matrix[top][i] != W_MAX && dist[top] + _matrix[top][i] < dist[i]) {dist[i] = dist[top] + _matrix[top][i];parent_path[i] = top;if (flag[i] == false) {q.push(i);flag[i] = true;}}}}
}

多元最短路径

Floyd-Warshall

算法原理

🚀佛洛依德算法是一个解决多源的最短路径问题的经典算法,它能够计算出每个顶点到达其余顶点的最短路径,对应用场景通常是带负权值的多源最短路径问题。

🚀佛洛依德算法采用的是动态规划的思想,顶点i到达顶点j的最短路径上至少经过了0个其他顶点,至多经过了n - 2个其他顶点,其状态标识可以定义为dp[i][j][m],标识顶点i到达顶点j的最短路径上经过了k个其余顶点,其余顶点就是除了起始顶点和终止顶点的其他顶点记作k(k有n-2种取值可能),所以如果i到j的最短路径经过k,那么dp[i][j][m] = dp[i][k][m-1] + dp[k][j][m-1],如果i到j的最短路径不经过k,dp[i][j][m] = dp[i][j][m-1],所以最终dp[i][j][m] = min(dp[i][j][m-1],dp[i][k][m-1]+dp[k][j][m-1])。在正常写代码时通常将其优化为二维的动态规划,因为第三维的m总是依赖于m-1的。

代码实现

void Floyd(std::vector<std::vector<W>>& dist, std::vector<std::vector<int>>& parent_path) {//初始化结构size_t n = _vertex.size();dist.resize(n);parent_path.resize(n);for (size_t i = 0; i < n; ++i) {dist[i].resize(n, W_MAX);parent_path[i].resize(n, -1);}//初始化直接相连的边for (size_t i = 0; i < n; i++) {for (size_t j = 0; j < n; j++) {if (_matrix[i][j] != W_MAX) {dist[i][j] = _matrix[i][j];parent_path[i][j] = i;}if (i == j) {dist[i][j] = 0;}}}//动态规划for (size_t k = 0; k < n; ++k) {for (size_t i = 0; i < n; ++i) {for (size_t j = 0; j < n; ++j) {if (dist[i][k] != W_MAX && dist[k][j] != W_MAX &&dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {//更新dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];parent_path[i][j] = parent_path[k][j];}}}}
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/99243.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

golang工程——grpc服务健康检查

多路复用与健康检查 参考grpc-health-probe 【grpc健康检查探针】 The grpc_health_probe utility allows you to query health of gRPC services that expose service their status through the gRPC Health Checking Protocol.grpc_health_probe is meant to be used for h…

线性代数小例子

这样做有什么问题呢&#xff1a; A 2 A > A ( A − E ) 0 > A E A 0 A^2 A > A(A - E) 0> A E \quad A 0 A2A>A(A−E)0>AEA0 上述做法是错误的&#xff0c;这是因为两个矩阵的乘积结果为0&#xff0c;并不能说明这两个矩阵就是0&#xff0c;即上述…

提高工作效率!本地部署Stackedit Markdown编辑器,并实现远程访问

文章目录 1. docker部署Stackedit2. 本地访问3. Linux 安装cpolar4. 配置Stackedit公网访问地址5. 公网远程访问Stackedit6. 固定Stackedit公网地址 StackEdit是一个受欢迎的Markdown编辑器&#xff0c;在GitHub上拥有20.7k Star&#xff01;&#xff0c;它支持将Markdown笔记保…

假期AI新闻热点:亚运会Al技术亮点;微软GPT-4V论文精读;Perplexity推出pplx-api;DALL-E 3多渠道测评 | ShowMeAI日报

&#x1f440;日报&周刊合集 | &#x1f3a1;生产力工具与行业应用大全 | &#x1f9e1; 点赞关注评论拜托啦&#xff01; &#x1f525; 科技感拉满&#xff0c;第19届杭州亚运会中的Al技术亮点 八年筹备&#xff0c;杭州第19届亚运会开幕式于9月23日晚隆重举行&#xff0…

论文解析——异构多芯粒神经网络加速器

作者 朱郭益, 马胜&#xff0c;张春元, 王波&#xff08;国防科技大学计算机学院&#xff09; 摘要 随着神经网络技术的快速发展, 出于安全性等方面考虑, 大量边缘计算设备被应用于智能计算领域。首先&#xff0c;设计了可应用于边缘计算的异构多芯粒神经网络加速器其基本结构…

OceanBase 4.2 主备库 FailOver 与 SwitchOver 概念

主备库的 SwitchOver 和 FailOver 概念 租户有主租户和备租户的概念&#xff0c;主租户位于主库&#xff0c;备租户位于备库。 SwitchOver 操作是在用户计划内对租户角色进行变更。当用户主动切换主备库角色时&#xff0c;称为 SwitchOver&#xff0c;RPO0&#xff0c;耗时秒级…

SSRF+redis未授权漏洞复现

1.SSRF漏洞简介 SSRF&#xff08;Server-Side Request Forgery&#xff09;即服务器端请求伪造&#xff0c;是一种由攻击者构造攻击链传给服务器&#xff0c;服务器执行并发起请求造成安全问题的漏洞&#xff0c;一般用来在外网探测或攻击内网服务。当网站需要调用指定URL地址…

vscode 无法打开源文件

以下是c/c插件的intelligense设置情况&#xff1a; 解决办法&#xff1a; 重新安装vsode无用&#xff1b;重新下载mingw64&#xff0c;管用了&#xff01;&#xff08;我猜可能是之前换电脑移植文件的时候导致了部分文件丢失&#xff09;

uniapp进行表单效验

在uniapp中进行表单效验可以采用以下两种方法&#xff1a; 使用uni-app官方提供的表单校验组件&#xff1a;uni-validate。这个组件提供了很多现成的校验规则&#xff0c;比如必填、手机号、邮箱等等&#xff0c;可以轻松实现表单的效验。具体使用可以参考官方文档&#xff1a;…

Django之主键外键详解

在ORM操作处了解的文章中&#xff0c;我们已经初步接触到了主键与外键的字段定义&#xff0c;那么本文以详细介绍主键外键的使用方法等 1.外键 在Django中&#xff0c;外键是一种关系字段&#xff0c;用于建立不同模型之间的关联关系。外键字段允许一个模型引用另一个模型的主…

Python视频剪辑-Moviepy音频效果afx方法

随着多媒体内容在日常生活和工作中的广泛应用,音频处理成为了一个越来越重要的技能。无论是在游戏开发、音乐制作,还是在各种应用和网站中,高质量的音频处理都能极大地提升用户体验。然而音频处理看似复杂,实则不必如此。其实只需要掌握一些基础的概念和技巧,就能够完成大…

基于微信小程序的个人健康数据管理平台设计与实现(源码+lw+部署文档+讲解等)

文章目录 前言具体实现截图论文参考详细视频演示为什么选择我自己的网站自己的小程序&#xff08;小蔡coding&#xff09;有保障的售后福利 代码参考源码获取 前言 &#x1f497;博主介绍&#xff1a;✌全网粉丝10W,CSDN特邀作者、博客专家、CSDN新星计划导师、全栈领域优质创作…

你该了解的自动化测试工具:Selenium控制浏览器的常用方法!

Selenium怎么来的&#xff1f; Selenium这个词&#xff0c;是化学元素硒&#xff08;Se&#xff09;的意思。在软件测试领域&#xff0c;它是绝对的自动化测试开源项目的标杆。取这个名字也是有讲究的&#xff0c;在当时乃至如今的软件测试领域&#xff0c;QTP(UFT)占有率非常…

关于flink重新提交任务,重复消费kafka的坑

异常现象1 按照以下方式设置backend目录和checkpoint目录&#xff0c;fsbackend目录有数据&#xff0c;checkpoint目录没数据 env.getCheckpointConfig().setCheckpointStorage(PropUtils.getValueStr(Constant.ENV_FLINK_CHECKPOINT_PATH)); env.setStateBackend(new FsStat…

云原生监控系统Prometheus:基于Prometheus构建智能化监控告警系统

目录 一、理论 1.Promethues简介 2.监控告警系统设计思路 3.Prometheus监控体系 4.Prometheus时间序列数据 5.Prometheus的生态组件 6.Prometheus工作原理 7.Prometheus监控内容 8.部署Prometheus 9.部署Exporters 10.部署Grafana进行展示 二、实验 1.部署Prometh…

【C语言】字符函数和内存操作函数

大家好&#xff0c;我是苏貝&#xff0c;本篇博客带大家了解字符函数和内存操作函数&#xff0c;如果你觉得我写的还不错的话&#xff0c;可以给我一个赞&#x1f44d;吗&#xff0c;感谢❤️ 目录 一.字符函数1.1 字符分类函数1.2 字符转换函数 二.内存操作函数2.1 memcpy2.2…

鸿蒙手表开发之使用adb命令安装线上包

#国庆发生的那些事儿# 鸿蒙手表开发之使用adb命令安装线上包 前言&#xff1a; 由于之前的哥们匆忙离职了&#xff0c;所以鸿蒙手表项目的新版本我临时接过来打包发布&#xff0c;基本上之前没有啥鸿蒙经验&#xff0c;但是一直是做Android开发的&#xff0c;在工作人员的指…

JAVA在线电子病历编辑器源码 B/S架构

电子病历在线制作、管理和使用的一体化电子病历解决方案&#xff0c;通过一体化的设计&#xff0c;提供对住院病人的电子病历书写、保存、修改、打印等功能。电子病历系统将临床医护需要的诊疗资料以符合临床思维的方法展示。建立以病人为中心&#xff0c;以临床诊疗信息为主线…

微信小程序 rpx 转 px

前言 略 rpx 转 px let query wx.createSelectorQuery(); query.selectViewport().boundingClientRect(function(res){let rpx2Px 1 * (res.width/750);console.log("1rpx " rpx2Px "px"); }); query.exec();参考 https://blog.csdn.net/qq_39702…

状态模式:对象状态的变化

欢迎来到设计模式系列的第十七篇文章。在本文中&#xff0c;我们将深入探讨状态模式&#xff0c;这是一种行为型设计模式&#xff0c;用于管理对象的状态以及状态之间的变化。 什么是状态模式&#xff1f; 状态模式是一种允许对象在内部状态发生变化时改变其行为的设计模式。…