目录

1 先说结论：

2 Σ几何分布的P(x=n) = P(n次试验至少成功1次)

2.1 几何分布的概率

2.2  这个是可以证明的，下面是推导过程

2.3 怎么理解呢？

3  另外，P(累计成功k次)= ΣP(成功k次的二项分布)

3.1  成功k次的概率 和 累计成功k次概率

3.2 成功k次的概率 和  至少累计成功k次概率

3.3  这个不需要像上面需要证明，是不言自明的

4  各种概率

5 应用，暂缺，以后再补吧

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1 先说结论：

• 结论1：Σ几何分布的P(x=n) = P(n次试验至少成功1次)
•             ΣP前n-1次失败最后1次成功(x=n)= P(n次试验至少成功1次)
• 结论2：P(累计成功k次)= ΣP(成功k次)

2 Σ几何分布的P(x=n) = P(n次试验至少成功1次)

2.1 几何分布的概率

• Σ几何分布的P(x=n) = P(n次试验至少成功1次)
• ΣP前n-1次失败最后1次成功(x=n)= P(n次试验至少成功1次)

• 我们计算几何概率时，很容易发现这么一个特点
• 从下表可看出

1. 左边是先算的连续失败概率---进而推导出，至少成功1次概率=1-连续失败概率
2. Σ几何分布的概率  =  至少成功一次的概率

• 这是为什么呢？

2.2  这个是可以证明的，下面是推导过程

下面试图证明：试验n次，P(至少成功1次) =Σp(几何分布)

P(至少成功1次概率)

• =1-P(连续失败的概率)
• =1-p(失败)*p(失败)*....*p(失败)
• =1-(1-p)^n

Σp(几何分布概率之和)

• =p*p(失败)^0+p*p(失败)^1+p*p(失败)^2+p*p(失败)^3+....+p*p(失败)^(n-1)
• =p*(1-p)^0+p*(1-p)^1+p*(1-p)^2+p*(1-p)^3+....+p*(1-p)^(n-1)
• =p*((1-p)^0+(1-p)^1+(1-p)^2+(1-p)^3+....+(1-p)^(n-1))
• 因为后面是等比数列，而且从0到n-1就是n个
• =p*(1-(1-p)^n)/(1-(1-p)))     
• =p*(1-(1-p)^n)/(1-(1-p)))   
• =p*(1-(1-p)^n)/p
• =1-(1-p)^n

证明完毕

2.3 怎么理解呢？

• P(n次试验至少成功1次) = Σ几何分布的P(x=n) = ΣP前n-1次失败最后1次成功(x=n)
• P(n次试验至少成功1次) = P(x=0) + P(x=1) +....+ P(x=n)
• 1- P(连续失败概率) = P(x=0) + P(x=1) +....+ P(x=n)

• 尝试这样进行理解，不知道对不对
• 右边的反面
• =ΣP前n-1次失败最后1次成功(x=n) 的反面
• = P(x=0) + P(x=1) +....+ P(x=n) 的反面
• = (1-P(x=0)) + (1-P(x=1) )+....+(1- P(x=n))
• = (1-共1次P前0次都失败第1次成功) + (1-共2次P前1次都失败第2次成功)+ ... ...+ (1-共n次P前n-1次都失败第n次成功)
• = (共1次P前0次都失败第1次也失败) + (共2次P前1次都失败第2次也失败) + ... ...+ (共n次P前n-1次都失败第n次也失败)
• =共1次全失败+共2次全失败+ ... ...+共n次全失败
• =全部连续失败的概率

3  另外，P(累计成功k次)= ΣP(成功k次的二项分布)

3.1  成功k次的概率 和 累计成功k次概率

1. 因为试验n次，成功k次概率是二项分布
2. 因此 P(累计成功k次) = ΣP(成功k次)= ΣP(二项分布)
3. 比如累计成功3次，P(累计成功k次) = ΣP(成功k次) (k=1...3)

3.2 成功k次的概率 和  至少累计成功k次概率

1. 因为试验n次，成功k次概率是二项分布
2. 因此 P(累计成功k次) = ΣP(成功k次)= ΣP(二项分布)
3. 比如累计成功3次，P(累计成功k次) = ΣP(成功k次) (k=1...3)
4. 比如至少累计成功8次，也就是累计成功8次及以上，P(至少累计成功k次) = 1-ΣP(成功k次) (k=1...7)

3.3  这个不需要像上面需要证明，是不言自明的

• 因为累计概率= Σ 成功k次 （k=1,n）

4  各种概率

• 试验n次，连续成功概率
• 试验n次，连续失败概率
• 试验n次，至少失败1次概率
• 试验n次，至少成功1次概率
• 试验n次，最后一次成功概率：对应几何分布
• 试验n次，成功k次概率：对应二项分布
• 试验n次，累计成功k次概率 和  至少累计成功k次概率

试验前提：试验次数n, 单次试验内成功次数是p

• 连续成功概率，从1~n，p*p*p*....*p           
• 连续失败概率，从1~n，(1-p)*(1-p)*(1-p)*....*(1-p)
• 至少失败1次的概率，从1~n，1-p*p*p*....*p         
• 至少成功1次的概率，从1~n，1-(1-p)*(1-p)*(1-p)*....*(1-p)     
• 最后1次成功的概率，几何分布 P(x=n)=p*(1-p)^(n-1)

1. 当n取值范围从1~n时
2. P(x=1)=p*(1-p)^0
3. P(x=2)=p*(1-p)^1
4.  ... ...
5. P(x=n)=p*(1-p)^(n-1)

• 试验n次前提下，成功k次的概率，二项分布 P(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

1. 当k取值范围从0~k时，k<=n
2. P(x=0)=C(n,k)*p^0*(1-p)^(n-0)
3. P(x=1)=C(n,k)*p^1*(1-p)^(n-1)
4. P(x=2)=C(n,k)*p^2*(1-p)^(n-2)
5. ... ....
6. P(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

• 试验n次，累计成功k次概率

1. 因为试验n次，成功k次概率是二项分布
2. 因此 P(累计成功k次) = ΣP(成功k次)= ΣP(二项分布)

• 试验n次，累计成功k次概率 和  至少累计成功k次概率

1. 因为试验n次，成功k次概率是二项分布
2. 因此 P(累计成功k次) = ΣP(成功k次)= ΣP(二项分布)
3. 比如累计成功3次，P(累计成功k次) = ΣP(成功k次) (k=1...3)
4. 比如至少累计成功8次，也就是累计成功8次及以上，P(至少累计成功k次) = 1-ΣP(成功k次) (k=1...7)

5 应用，暂缺，以后再补吧