多标签学习这个方向问题比较多，可以参考多标签学习的新趋势（2021 Survey TPAMI） 和 部分标签学习和缺失标签学习到底什么异同？ 这两篇偏综述性质的解释。本文重点解释下面几个重点问题：

Multi Label Classification with Missing Labels(MLML)和Partial Multi-Label Learning（PML）的区别

• MLML重点在Missing Labels，一张图标注员一般只打标少量实体，大量的实体miss掉了，产生了大量的False Negative cases。
• PML重点在很多信息不明确，很难标。例如下面图，诸如Tree、Lavender这些标签相对是比较简单的。但是有些标签到底有没有，是比较难以确定的，对于某些标注者，可能出现：“这张图片看起来是在法国拍的，好像也可能是意大利？”，这种情况称之为Ambiguous。PML希望把所有的ambiguous都标出来，所以PML选择的是让标注者提供所有可能的标签，当然加了一个较强的假设：所有的标签都应该被包含在候选标签集中。
  

MLML的loss设计

刚提到MLML的问题在于大量正例标签miss掉了，有不少False Positive，从loss推导角度来分析下这个问题

Preliminary

MLML问题一般理解为针对每一个label进行one-vs.-rest的二分类：

• 对于多分类，假设存在n类，那么对于每个样本经过神经网络会出n个logits，这n个logits过softmax得到和为1的值再过NLL的loss，就是CrossEntropy，详细可以参考信息熵 条件熵 交叉熵 联合熵 相对熵 KL散度 SCE MAE 互信息（信息增益）里的推导，所以$CE(P,Q)=-{\sum }_{i\in [0,n-1]}{p}_{i}log{q}_i$，一般$p_i$是label，$q_i$是经过softmax后的结果。

• 对于二分类，对于每个样本经过神经网络可以只出一个logit，那么这个logit只过sigmoid得到p就可以了，都没softmax啥事。但算CE loss需要另外一个logit归一化的结果，也就是1-p，也需要另外一个label就是1-y。所以到二分类里$CE(P,Q)=-{\sum }_{i\in [0,1]}{p}_{i}log{q}_i=-ylogp-(1-y)log(1-p)$，y是label，p是经过sigmoid后的结果。

在Simple and Robust Loss Design for Multi-Label Learning with Missing Labels一文中，Loss被一般化地定义为下面表达式，值得注意的是K是表示有K个二分类，而不是K=2，$y_i$的取值是0或者1
$$L=-\sum _{i=1}^K(y_i{L}_i^{+}+(1-y_i)L_i^{-})$$
如果是BCE就是下面表达式，$p_i$表示的是第i个二分类经过sigmoid后只出了一个值$p_i=\sigma (x_i)=\frac{1}{1+e^{-x_i}}$，其中$x_i$就是经过神经网络后第i个二分类只出了一个值
$$\begin{gathered} L=-\sum _{i=1}^K(y_i{L}_i^{+}+(1-y_i)L_i^{-}) \\ {L}_i^{+}=log{p}_i \\ {L}_i^{-}=log(1-p_i) \end{gathered}$$
有了这个表达式可以推导一下导数结果，因为${\sigma }^{{}^{\prime }}(x_i)=\sigma (x_i)(1-\sigma (x_i))=p_i\ast (1-p_i)$：
$$\frac{\partial L_i^{-}}{\partial x_i}=\frac{1}{p_i-1}\ast p_i\ast (1-p_i)=-p_i$$
所以Simple and Robust Loss Design for Multi-Label Learning with Missing Labels一文中Fig 3对应的BCE是一条直线，注意横轴是p，纵轴是$-\frac{\partial L_i^{-}}{\partial x_i}$

如果是Focal Loss就是下面表达式，$\gamma$ is a focus parameter, and ${\alpha }_{+}$ and ${\alpha }_{-}$ are utilized to balance positives and negative
$$\begin{gathered} L=-\sum _{i=1}^K(y_i{L}_i^{+}+(1-y_i)L_i^{-}) \\ {L}_i^{+}={\alpha }_{+}(1-p_i{)}^{\gamma }log{p}_i \\ {L}_i^{-}={\alpha }_{-}{p}_i^{\gamma }log(1-p_i) \end{gathered}$$

ASL(Asymmetric Loss For Multi-Label Classification)

ASL Loss是一种对Focal Loss的修正，其中$p_m=max(p-m,0)$, The
probability margin m ≥ 0 is a tunable hyper-parameter。 The ASL loss reduces the weight of easy negatives via using $\gamma +<\gamma -$, and discards negatives with low predicted probability via
the m shifted probability
$$\begin{gathered} L=-\sum _{i=1}^K(y_i{L}_i^{+}+(1-y_i)L_i^{-}) \\ {L}_i^{+}=(1-p_m{)}^{\gamma +}log{p}_m \\ {L}_i^{-}=p_m^{\gamma -}log(1-p_m) \end{gathered}$$

Hill Loss和SPLC Loss

来自Simple and Robust Loss Design for Multi-Label Learning with Missing Labels，简单来说就是把上述BCE收到missing labels影响做了一些修正，详细看原文较好

部分摘录自：

1. https://www.zhihu.com/question/418818026/answer/1454922545
2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/266749365
3. Asymmetric Loss For Multi-Label Classification
4. Simple and Robust Loss Design for Multi-Label Learning with Missing Labels