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注：本文为“遇见数学”翻译的 “数学分支概览” 两篇文章合辑。

数学世界的版图：主要分支概览（上）

原创遇见数学 2025 年 04 月 03 日 12:02 河南

数学的分支（Areas of Mathematics）

在文艺复兴之前，数学主要分为两个领域：算术（Arithmetic，关于数的运算）和几何（Geometry，关于形状的研究）。当时，一些伪科学，如数字占卜（Numerology）和占星术（Astrology），并未与数学严格区分开来。

文艺复兴时期，两个新的领域逐渐发展起来：代数（Algebra）和微积分（Calculus）。数学符号的发展推动了代数的诞生，广义上讲，它是对公式的研究与操作。微积分，包括微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）两个子领域，研究连续变化的函数，这些函数通常用来构建非线性的变量之间的关系。这种将数学划分为四大领域（算术、几何、代数、微积分）的方式，一直持续到 19 世纪末。

像天体力学（Celestial Mechanics）和固体力学（Solid Mechanics）这样的学科，最初由数学家研究，但现在通常归入物理学的范畴。组合数学（Combinatorics）虽然在有记载的历史中早已被研究，但直到 17 世纪才被视为数学的一个独立分支。

19 世纪末，数学基础危机的爆发以及随之而来的公理化方法的系统化，催生了大量新的数学分支。

《2020 年数学学科分类》（Mathematics Subject Classification）列出了不少于 63 个一级学科。

其中一些延续了传统划分方式，例如数论（即 “高等算术” 的现代称呼）和几何；另一些领域虽不以 “几何” 命名，却依然被认为属于几何学范畴。而 “代数” 和 “微积分” 虽不再作为一级学科出现，但分别被拆分为多个一级领域。还有一些一级领域是在 20 世纪出现的，或者此前并不被视为数学的一部分，如数理逻辑和数学基础。

数论（Number Theory）

这张图展示的是乌拉姆螺旋（Ulam Spiral），用于可视化质数的分布。图中沿对角线的深色点，暗示了一个猜想：质数在某些二次多项式取值中近似呈独立分布，这一猜想现被称为哈代 - 李特尔伍德猜想 F（Hardy–Littlewood Conjecture F）。

这张图展示的是乌拉姆螺旋（Ulam Spiral），用于可视化质数的分布。图中沿对角线的深色点，暗示了一个猜想：质数在某些二次多项式取值中近似呈独立分布，这一猜想现被称为哈代 - 李特尔伍德猜想 F（Hardy–Littlewood Conjecture F)。

数论起初是对自然数的研究，后来扩展到整数和有理数。数论曾被称为 “算术”，但在当今，“算术” 一词主要用于指基础的数值计算。

数论的历史可以追溯到古巴比伦，或可能更早的中国。古希腊的欧几里得与亚历山大的丢番图是早期著名的数论学者。现代抽象数论的奠基者被认为是皮埃尔・费马与莱昂哈德・欧拉，而勒让德和高斯的贡献则使该领域逐渐完善。

许多表述简单的数论问题，其解法却需要高度复杂的数学工具，往往跨越多个数学分支。

例如，费马大定理由费马在 1637 年提出，但直到 1994 年才由安德鲁・怀尔斯证明，他运用了包括代数几何中的概形理论、范畴论和上同调代数等工具。

另一个著名问题是哥德巴赫猜想，即每个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和。该猜想由克里斯蒂安・哥德巴赫于 1742 年提出，尽管已有大量研究成果，但至今仍未被证明。

数论的子领域包括：

解析数论（Analytic Number Theory）
代数数论（Algebraic Number Theory）
几何数论（方法导向，Geometry of Numbers）
丢番图方程（Diophantine Equations）
超越数论（问题导向，Transcendence Theory）

几何（Geometry）

在球面上，欧几里得几何仅适用于局部近似。若在更大尺度上，三角形的内角和将不等于。

几何是最古老的数学分支之一。它起源于对形状的经验性研究，如直线、角度和圆，最初主要为测量和建筑服务，后来发展出众多子领域。

古希腊人开创性的引入了 “证明” 的概念，强调每一个命题都需经逻辑推导加以证明。例如，不能仅凭测量判断两个线段相等，而应从已知定理和基本前提出发，通过推理得出其等值。这些基本前提包括公设（Postulates，不需证明的自明真理）与公理（Axioms，作为研究对象定义一部分的陈述）。这一原则成为整个数学的基础，最早在几何中进行系统化，由欧几里得在公元前约 300 年所著《几何原本》中完整阐述。

“在古希腊传统中，‘公设’通常指几何直观的规则，而‘公理’更偏向逻辑推理的基础前提。在现代数学中，这一区分已无实际作用，二者统一归入‘公理系统’。”

由此形成的欧几里得几何（Euclidean Geometry），研究由线、面、圆等构成的二维（平面几何）与三维欧几里得空间中的图形结构。

几何的研究方法与范围从古至今变化不大，直到 17 世纪，笛卡尔引入了笛卡尔坐标系，带来了范式的重大变革。通过将点的位置用数值坐标表示，几何问题开始可以借助代数（甚至微积分）来解决。

几何由此分化出两个新分支：

综合几何（Synthetic Geometry）：仅依赖几何构造与逻辑推理
解析几何（Analytic Geometry）：使用坐标系统研究几何问题

解析几何使得研究抛物线、椭圆等任意曲线成为可能，这些研究推动了：

微分几何（Differential Geometry）：研究函数图像定义的曲线与曲面
代数几何（Algebraic Geometry）：研究由多项式方程定义的几何对象
更高维欧几里得空间

19 世纪，数学家发现了不满足平行公设的非欧几何（Non-Euclidean Geometry）。

通过质疑该公设的真实性，这一发现与罗素悖论一起被视为揭示了数学的基础危机。这一危机的解决方案是系统化公理方法，并接受公理的选取是人为设定的前提。

这一方法的确立，使得数学家能研究不同公理系统下的几何，或在特定变换下保持不变的性质。

现代几何的子领域包括：

射影几何：由吉拉德・笛沙格于 16 世纪提出，引入无穷远点，使得所有直线相交，统一了平行线和交点的处理。
仿射几何：研究与平行性相关、但与长度无关的几何性质。
微分几何：研究由可微函数定义的曲线、曲面及其推广。
流形理论：研究不一定嵌入在更高维空间中的几何对象。
黎曼几何：研究曲率空间中的距离与测度。
代数几何：研究由多项式方程定义的几何对象。
拓扑学：研究在连续变形下保持不变的性质。
代数拓扑：用代数方法（如上同调代数）研究拓扑问题。
离散几何：研究有限图形配置的几何性质。
凸几何：研究凸集，广泛用于最优化问题。
复几何：将实数替换为复数后得到的几何结构。

代数（Algebra）

魔方群是群论的一个具体应用。

代数是方程与公式的操作艺术。丢番图（3 世纪）和花拉子米（9 世纪）是代数的两位奠基者。

丢番图通过逻辑推导与变换关系，解出含有自然数解的方程。花拉子米则引入了系统的方程变换方法，如移项等。“代数” 一词来自阿拉伯语 al-jabr，意为 “复原”，这是他用于命名其主要著作中一种方法的词语。

弗朗索瓦・韦达 (François Viète)

直到 16 世纪末，法国数学家弗朗索瓦・韦达引入用字母分别表示已知数和未知数，为代数表达式的形成奠定基础，使其成为一门独立学科。变量的使用使数学家可以用公式表示运算步骤。

19 世纪前，代数主要研究线性方程（即线性代数）和一元多项式方程（即所谓的代数方程）。19 世纪中期起，数学家开始用变量表示非数值的对象（如矩阵、模算术、几何变换等），这些对象也遵循类数的运算规则。

于是，代数结构的概念出现：一个集合、其上的运算、以及这些运算所遵循的规则。该方向发展为现代代数或抽象代数，其体系由艾米・诺特等人确立。

某些代数结构在数学中具有基础性意义，并作为代数的子领域独立发展，例如：

群论（Group Theory）
域（Field Theory）
向量空间（Vector Spaces，即线性代数）
环论（Ring Theory）
交换代数（研究交换环与多项式，是代数几何的基础）
同调代数（Homological Algebra）
李代数与李群（Lie Algebra and Lie Groups）
布尔代数（Boolean Algebra，广泛用于计算机逻辑结构）

此外，泛代数（Universal Algebra）与范畴论（Category Theory）研究各种代数结构的共性。范畴论最初是为系统化代数拓扑（Algebraic Topology）中的结构与映射而发展出来的，后来成为研究各种数学结构之间共性的强大工具。

数学世界的版图：主要分支概览（下）

原创遇见数学 2025 年 04 月 04 日 15:16 河南

微积分与分析

柯西序列（Cauchy sequence）是指一个数列，其后续项之间会随着数列的推进而无限接近。

柯西序列（Cauchy sequence) 是指一个数列，其后续项之间会随着数列的推进而无限接近。

微积分，旧称 “无穷小微积分”（infinitesimal calculus），由 17 世纪的数学家牛顿和莱布尼茨各自独立且同时创立。它本质上是研究彼此依赖的变量之间关系的数学。18 世纪，欧拉引入了函数的概念，并推动了该理论的进一步发展。

如今，“微积分” 通常指该理论的基础部分，而数学分析（analysis）则被用来指代更高级的内容。

数学分析进一步细分为：

实分析（Real analysis）：研究实数变量的性质
复分析（Complex analysis）：研究复数变量的性质

此外，分析还包含许多与其他数学领域交叉的子领域，包括：

多变量微积分（Multivariable calculus）
泛函分析（Functional analysis）：研究函数空间及其变换
积分、测度论（Measure theory）与位势论（Potential theory）：与连续概率论密切相关
常微分方程（Ordinary differential equations）
偏微分方程（Partial differential equations）
数值分析（Numerical analysis）：主要研究如何在计算机上求解常微分或偏微分方程等应用问题中的数值解

离散数学（Discrete mathematics）

下图展示了一个两状态马尔可夫链（Markov chain），状态用 A 和 E 表示，数字表示状态转换的概率。

上图展示了一个两状态马尔可夫链（Markov chain)，状态用 A 和 E 表示，数字表示状态转换的概率。

离散数学广义上是研究离散的、可数的数学对象。例如，全体整数集合就是一个典型例子。由于研究对象是离散的，微积分和数学分析的方法通常不适用。

算法（Algorithms），特别是它们的实现方式和计算复杂性，在离散数学中具有重要地位。

20 世纪下半叶，四色定理（Four color theorem）和开普勒猜想（Kepler conjecture，最优球堆积问题 / Optimal sphere packing）是两个被解决的重要离散数学难题。P vs NP 问题至今未解，它的答案可能对大量计算复杂的问题产生深远影响。

离散数学的主要领域包括：

组合数学（Combinatorics）：研究如何在特定限制条件下计数各种数学对象。最初这些对象是集合的元素或子集，后来扩展到更广泛的结构，从而与其他离散数学分支建立了密切联系。例如，离散几何（Discrete geometry）研究几何图形的组合配置。
图论（Graph theory）与超图（Hypergraphs）
编码理论（Coding theory）：包括纠错码和部分密码学内容
拟阵理论（Matroid theory）
离散几何（Discrete geometry）
离散概率分布（Discrete probability distributions）
博弈论（Game theory）：虽然也研究连续博弈，但大多数常见游戏如国际象棋和扑克都是离散的
离散优化（Discrete optimization）：包括组合优化、整数规划和约束规划

数学逻辑与集合论

维恩图（Venn diagram）是一种常用的集合关系可视化工具。

维恩图（Venn diagram) 是一种常用的集合关系可视化工具。

数学逻辑和集合论自 19 世纪末起成为数学的正式分支。在此之前，集合尚未被视为数学对象，而逻辑虽然用于证明，但仍属于哲学范畴，并非数学家专门研究的领域。

在康托尔研究无穷集合之前，数学家普遍避免使用 “实际无穷” 的概念，只将无穷视为永无止境的过程。康托尔提出了实际无穷集合的概念，并通过对角论证法（Cantor’s diagonal argument）说明无穷集合之间可以有不同的 “大小”，这在当时引起了巨大的争议。

同时，多个数学分支开始意识到，旧有关于基本数学对象的直觉定义不足以维持数学的严密性，这引发了所谓的 “数学基础危机”（foundational crisis）。

这一危机最终通过在形式化集合论中系统化公理化方法而得到主流解决。粗略地说，每一个数学对象都通过描述它所属的一类对象及其所满足的性质来定义。例如，在皮亚诺公理（Peano axioms）中，自然数通过如下公理定义 (大致)：

“0 是一个数”
“每个数都有唯一的后继”
“除 0 外，每个数都有唯一的前驱”
加上一些推理规则

这种将数学从现实中抽象出来的方式，体现在由希尔伯特于约 1910 年提出的形式主义哲学之中。

这种方法也使得逻辑系统（即推理规则的集合）、定理、证明等可以作为数学对象加以研究。例如，哥德尔不完全性定理（Gödel’s incompleteness theorems）大致指出：在任何包含自然数的自洽形式系统中，必然存在一些命题，它们虽然在该系统中无法被证明，但在添加更多公理或更强表达能力的系统中可以被证明为真。

这一基础方法在 20 世纪上半叶遭遇挑战，尤其是由布劳威尔（L.E.J. Brouwer）领导的数学家群体推广的直觉主义逻辑（intuitionistic logic），其显著特征是不承认排中律（law of excluded middle）。

这些问题和争论推动了数学逻辑的广泛发展，形成了如下子领域：