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01背包

计算了f[i+1]，f[i]就没用了，相当于每时每刻只有两个数组在参与运算：


494题是求方案数的，要初始化成 0。
如果是恰好型背包并且要计算最大最小，那么初始值就和 inf 有关。

力扣494题：

对于至少/至多的变形问题，变形类似：

完全背包

力扣322题：

其中：从二维递推式来理解，
例如01背包，更新f【c】的值需要的是当前f【c】和上一个状态的f【c-w】，因为我们现在之后一个数组，若是正序，f【c-w】就更新过了，也就不是上一个状态的值了，所以必须逆序；
若是完全背包，更新f【c】的值需要的是当前f【c】和当前状态的f【c-w】，需要的就是更新过的值，所以正序是没问题的。

例题：力扣2915. 和为目标值的最长子序列的长度

class Solution:def lengthOfLongestSubsequence(self, nums: List[int], target: int) -> int:# 先使用递归# 恰好等于target ==背包容量# 长度即选物品，其价值为1# 只能选一次：01背包问题n = len(nums)# 1.递归：@cachedef dfs(i,c):if i<0:return 0 if c==0 else -infif c< nums[i]:return dfs(i-1,c)return max(dfs(i-1,c),dfs(i-1,c-nums[i])+1)ans= dfs(n-1,target)dfs.cache_clear()return ans if ans>-1 else -1# 2. 转为递推:dp[i+1][c]= max(dp[i][c],dp[i][c-nums[i]]+1) 整体加了1dp =[[-inf]*(target+1) for _ in range(n+1)]dp[0][0]=0for i,x in enumerate(nums):for c in range(target+1):if c<x:dp[i+1][c]=dp[i][c]else:dp[i+1][c]= max(dp[i][c],dp[i][c-x]+1)ans = dp[n][target]return ans if ans>-1 else -1# 3. 进一步优化为滚动数组dp =[[-inf]*(target+1) for _ in range(2)]dp[0][0]=0for i,x in enumerate(nums):for c in range(target+1):if c<x:dp[(i+1)%2][c]=dp[i%2][c]else:dp[(i+1)%2][c]= max(dp[i%2][c],dp[i%2][c-x]+1)ans = dp[n%2][target]  # 记得这里也要%2return ans if ans>-1 else -1#  4. 进一步优化为1维滚动数组dp =[-inf]*(target+1)dp[0]=0for x in nums:for c in range(target,x-1,-1):if c<x:dp[c] = dp[c]else:dp[c]= max(dp[c],dp[c-x]+1)ans = dp[target]  return ans if ans>-1 else -1