一、AVL树的概念

1.二叉搜索树

二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树。
二叉搜索树：一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：

1. 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。
2. 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。
3. 左、右子树都是二叉搜索树。

二叉搜索树的性能：

• 最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：logN
• 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：N

在最坏情况下，二叉搜索树的性能就失去了，为了在最坏情况下也能发挥二叉搜索树的性能，VAL树和红黑树的出现就解决了这个问题。

2.AVL树

平衡二叉树 全称叫做平衡二叉搜索(排序)树，简称 AVL树。AVL 是大学教授G.M. Adelson-Velsky 和E.M. Landis名称的缩写，他们提出的平衡二叉树的概念，为了纪念他们，将平衡二叉树称为 AVL树。

方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树可以是一棵空树，也可以是具有以下性质的一棵二叉搜索树：

• 树的左右子树都是AVL树。
• 树的左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1。

如果一棵二叉搜索树的高度是平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在LogN，搜索时间复杂度也是LogN。

二、AVL树的定义

这里实现的是KV模型的AVL树，因为set和map的底层是KV模型。

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{//三叉链AVLTreeNode<K, V>* _left;   //左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;  //右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent; //自己的父亲//存储的键值对pair<K, V> _kv;//平衡因子(balance factor)int _bf; //右子树高度-左子树高度//构造函数AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};

三、AVL树的插入

AVL树插入结点时有以下三个步骤：

• 按照二叉搜索树的插入方法(如果要插入的值比当前节点小，就往左子树找；如果比当前节点大，就往右子树找)，找到待插入位置。
• 找到待插入位置后，将待插入结点插入到树中。
• 更新平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转。

由于一个结点的平衡因子是否需要更新，是取决于该结点的左右子树的高度是否发生了变化，因此插入一个结点后，该结点的祖先结点的平衡因子可能需要更新。

 我们插入结点后需要倒着往上更新平衡因子，更新规则如下：

1. 新增结点在parent的右边，parent的平衡因子+ + 
2. 新增结点在parent的左边，parent的平衡因子− − 

每更新完一个结点的平衡因子后，都需要进行以下判断：

• 如果parent的平衡因子等于-1或者1，表明还需要继续往上更新平衡因子。
• 如果parent的平衡因子等于0，表明无需继续往上更新平衡因子了。
• 如果parent的平衡因子等于-2或者2，表明此时以parent结点为根结点的子树已经不平衡了，需要进行旋转处理。

1.左单旋

新节点插入较高的右子树的右侧(右右)：左单旋

我们可以看到，插入9以后，parent的平衡因子已经发生改变，所以需要向左旋转。

左单旋的步骤如下：

1. 让subR的左子树作为parent的右子树。
2. 让parent作为subR的左子树。
3. 让subR作为整个子树的根。
4. 更新平衡因子。

/左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;Node* parentParent = parent->_parent; //parent的父亲节点//1、建立subR和parent之间的关系parent->_parent = subR;subR->_left = parent;//2、建立parent和subRL之间的关系parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;//3、建立parentParent和subR之间的关系if (parentParent == nullptr)            //说明parent是根节点，不需要再向上调整{_root = subR;subR->_parent = nullptr; //subR的_parent指向需改变}else{if (parent == parentParent->_left)  //说明parent不是根节点，并且是他的父节点的左子树{parentParent->_left = subR;}else //parent == parentParent->_right //说明parent不是根节点，并且是他的父节点的右子树{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}//4、更新平衡因子subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.右单旋

新节点插入较高的左子树的左侧(左左)：右单旋

我们可以看到，插入1以后，parent的平衡因子已经发生改变，所以需要向右旋转。

右单旋的步骤如下：

1. 让subL的右子树作为parent的左子树。
2. 让parent作为subL的右子树。
3. 让subL作为整个子树的根。
4. 更新平衡因子。

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* parentParent = parent->_parent;  //parent的父亲节点//1、建立subL和parent之间的关系subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//2、建立parent和subLR之间的关系parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;//3、建立parentParent和subL之间的关系if (parentParent == nullptr)    //说明parent是根节点，不需要再向上调整{_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left)  //说明parent不是根节点，并且是他的父节点的左子树{parentParent->_left = subL;}else //parent == parentParent->_right  //说明parent不是根节点，并且是他的父节点的右子树{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//4、更新平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

3.左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧(左右)：先左单旋再右单旋

左右双旋的步骤如下：

1. 以subL为旋转点进行左单旋。
2. 以parent为旋转点进行右单旋。
3. 更新平衡因子。

subLR的平衡因子又分为三种情况:

• 当subLR原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0。

• 当subLR原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0。

• 当subLR原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0。

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf; //subLR不可能为nullptr，因为subL的平衡因子是1//1、以subL为旋转点进行左单旋RotateL(subL);//2、以parent为旋转点进行右单旋RotateR(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}
}

4.右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧(左右)：先右单旋再左单旋

右左双旋的步骤如下：

1. 以subR为旋转点进行右单旋。
2. 以parent为旋转点进行左单旋。
3. 更新平衡因子。

subRL的平衡因子又分为三种情况:

• 当subRL原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为-1、0、0。

• 当subRL原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、1、0。

• 当subRL原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、0、0。

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;//1、以subR为轴进行右单旋RotateR(subR);//2、以parent为轴进行左单旋RotateL(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 0){subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}
}

5.整体代码

//插入函数
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr) //若AVL树为空树，则插入结点直接作为根结点{_root = new Node(kv);return true;}//1、按照二叉搜索树的插入方法，找到待插入位置Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first) //待插入结点的key值小于当前结点的key值{//往该结点的左子树走parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first) //待插入结点的key值大于当前结点的key值{//往该结点的右子树走parent = cur;cur = cur->_right;}else //待插入结点的key值等于当前结点的key值{//插入失败（不允许key值冗余）return false;}}//2、将待插入结点插入到树中cur = new Node(kv); //根据所给值构造一个新结点if (kv.first < parent->_kv.first) //新结点的key值小于parent的key值{//插入到parent的左边parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else //新结点的key值大于parent的key值{//插入到parent的右边parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//3、更新平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转while (cur != _root) //最坏一路更新到根结点{if (cur == parent->_left) //parent的左子树增高{parent->_bf--; //parent的平衡因子--}else if (cur == parent->_right) //parent的右子树增高{parent->_bf++; //parent的平衡因子++}//判断是否更新结束或需要进行旋转if (parent->_bf == 0) //更新结束（新增结点把parent左右子树矮的那一边增高了，此时左右高度一致）{break; //parent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) //需要继续往上更新平衡因子{//parent树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //需要进行旋转（此时parent树已经不平衡了）{if (parent->_bf == -2){if (cur->_bf == -1){RotateR(parent); //右单旋}else //cur->_bf == 1{RotateLR(parent); //左右双旋}}else //parent->_bf == 2{if (cur->_bf == -1){RotateRL(parent); //右左双旋}else //cur->_bf == 1{RotateL(parent); //左单旋}}break; //旋转后就一定平衡了，无需继续往上更新平衡因子(旋转后树高度变为插入之前了)}else{assert(false); //在插入前树的平衡因子就有问题}}return true; //插入成功
}

四、AVL树的验证

因为AVL树的本质是二叉搜索树，左子树<根节点<右子树,所以用中序遍历的方法即可判断。

但中序有序只能证明是二叉搜索树，要证明二叉树是AVL树还需验证二叉树的平衡性，在该过程中我们可以顺便检查每个结点当中平衡因子是否正确。

采用后序遍历，变量步骤如下：

1. 从叶子结点处开始计算每课子树的高度。（每棵子树的高度 = 左右子树中高度的较大值 + 1）
2. 先判断左子树是否是平衡二叉树。
3. 再判断右子树是否是平衡二叉树。
4. 若左右子树均为平衡二叉树，则返回当前子树的高度给上一层，继续判断上一层的子树是否是平衡二叉树，直到判断到根为止。（若判断过程中，某一棵子树不是平衡二叉树，则该树也就不是平衡二叉树了）

//判断是否为AVL树
bool IsAVLTree()
{int hight = 0; //输出型参数return _IsBalanced(_root, hight);
}
//检测二叉树是否平衡
bool _IsBalanced(Node* root, int& hight)
{if (root == nullptr) //空树是平衡二叉树{hight = 0; //空树的高度为0return true;}//先判断左子树int leftHight = 0;if (_IsBalanced(root->_left, leftHight) == false)return false;//再判断右子树int rightHight = 0;if (_IsBalanced(root->_right, rightHight) == false)return false;//检查该结点的平衡因子if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子设置异常：" << root->_kv.first << endl;}//把左右子树的高度中的较大值+1作为当前树的高度返回给上一层hight = max(leftHight, rightHight) + 1;return abs(rightHight - leftHight) < 2; //平衡二叉树的条件
}