》》》算法竞赛
/*** @file * @author jUicE_g2R(qq:3406291309)————彬(bin-必应)* 一个某双流一大学通信与信息专业大二在读 * * @brief 一直在竞赛算法学习的路上* * @copyright 2023.9* @COPYRIGHT 原创技术笔记：转载需获得博主本人同意，且需标明转载源* @language C++* @Version 1.0还在学习中 */
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- 21-1 树的直径
- 21-1-1 定义
- 21-1-2 性质
- 21-1-3 实现的方法 及 选择
- 直通车——>树的存储方法：链式前向星
- 21-1-4 法一：做两次DFS（或BFS）
- DFS(BFS)为何不能用在有 负权值 的树里呢？
- 21-1-5 法二：树形DP（动态规划）
- 直通车——>DP算法求最大子序和
- 为何 DP能解决 有 负权值 的树 的树直径问题？
- 如何实现 动态规划？
21-1 树的直径
21-1-1 定义
树上 最远的两个节点之间 的距离被称为 树的直径，连接这两个点的路径 被称为 树的最长链。
21-1-2 性质
- 1 、这两个最远点一定是叶子节点 1、这 两个最远点 一定是 叶子节点 1、这两个最远点一定是叶子节点
- 2 、距任意结点最远的点一定是直径的端点 2、距 任意结点最远的点 一定是 直径的端点 2、距任意结点最远的点一定是直径的端点
- 3 、两棵树相连，新树的直径的两端点一定是原四个端点中的两个 3、两棵树相连，新树的直径的两端点一定是原四个端点中的两个 3、两棵树相连，新树的直径的两端点一定是原四个端点中的两个
- 4 、若一棵树存在多条直径，多条直径交于一点，且交点是直径的严格中点（中点可能在某条边内） 4、若一棵树存在多条直径，多条直径交于一点，且交点是直径的严格中点（中点可能在某条边内） 4、若一棵树存在多条直径，多条直径交于一点，且交点是直径的严格中点（中点可能在某条边内）
21-1-3 实现的方法 及 选择
1）做两次DFS（或BFS）
2）树形DP
| 操作方法 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| 做两次DFS（或BFS） | 可以得到完整的路径，从而得到点与点之间的距离 | 不能用于有 负权值 的树 |
| 树形DP | 能用于有 负权值 的树 | 不可以得到完整的路径 |
树的直径
Input
就测试一个边上权值都为1的满二叉树
7 1 2 1 1 3 1 2 4 1 2 5 1 3 6 1 3 7 1Output
4
直通车——>树的存储方法：链式前向星
21-1-4 法一：做两次DFS（或BFS）
- 从任意 u 结点 u结点 u结点 出发，离 u 结点 u结点 u结点 最远的 e 结点 e结点 e结点，一定是该树直径的其中一个端点（性质2）
- 从得到的这个 e 结点 e结点 e结点 出发，离 u 结点 u结点 u结点 最远的 s 结点 s结点 s结点，一定是该树直径的其中另一个端点（性质2，定义）
- s 结点 s结点 s结点 与 e 结点 e结点 e结点 就是这棵树直径的端点
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
vector<int> head(N,-1);
struct Edge{ //链式前向星int to,next;int weight;Edge():to(-1), next(-1){} //初始化为无邻居节点
} edge[N<<1];
int n; //人有n个，关系有n-1条
int cot=0;
vector<int> dis(N,0); //记录距离
void Add_Edge(int u, int v,int w){edge[cot].to=v;edge[cot].weight=w;edge[cot].next=head[u]; //记录 上一个邻居节点 的 存储编号head[u]=cot++; //当前 邻居节点 的 存储编号，以便下一个邻居节点的访问
}
void DFS(int u, int father, int w){dis[u]=dis[father]+w; //更新当前节点的距离for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next){ //遍历cur节点的邻居节点[~i相当于i=-1]int v=edge[i].to; //v 是 u 的子节点if(v==father) continue; //不遍历父节点DFS(v, u, edge[i].weight);}
}
int main(void){int n; cin>>n;for(int i=1; i<n; i++){int u,v,w; cin>> u >> v >> w;Add_Edge(u,v,w); Add_Edge(v,u,w); //无向 记录 双向有向}/*找到树直径的其中一个端点*/DFS(1,0,0); //以 1号节点 为根节点遍历整个树，获得所有节点离节点1的距离int n1_id=1; //初始化for(int i=1; i<=n; i++) //遍历输入的n个结点if(dis[i]>dis[n1_id]) //最终是为了找到到 结点1 距离最远的那个节点n1_id=i;/*找到树直径的另一端点*/DFS(n1_id,0,0); //以 n1_id结点 为根节点开始遍历整棵树，最终最远的那个距离就是直径int n2_id=1; //初始化for(int i=1; i<=n; i++) //遍历输入的n个结点if(dis[i]>dis[n2_id]) //最终是为了找到到 n1_id节点 距离最远的那个节点n2_id=i;cout<<dis[n2_id]; return 0;
}
//法一
void DFS(int u, int father, int w){dis[u]=dis[father]+w; //更新当前节点的距离for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next){ //遍历cur节点的邻居节点[~i相当于i=-1]int v=edge[i].to; //v 是 u 的子节点if(v==father) continue; //不遍历父节点DFS(v, u, edge[i].weight);}
} //法二
vector<bool> visit(N,false);
void DFS(int u, int father, int w){dis[u]=dis[father]+w; //更新当前节点的距离visit[u]=true; //标记为已访问，避免下次再访问for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next){int v=edge[i].to; //v 是 u 的子节点if(visit[v]) continue; //v已经算过了，避免重复遍历DFS(v, u, edge[i].weight);}
}
DFS(BFS)为何不能用在有 负权值 的树里呢？
很容易想到一个反例：离目标节点 的 倒数第二远的节点到最远的节点 这条边如果权值为负，会得出 dis[倒数第二远]>dis[最远的节点] 的错误结论。（是因为我们让权值和作为判断 是否远 的依据）
而我们比较depth，就可以解决这个问题。
21-1-5 法二：树形DP（动态规划）
直通车——>DP算法求最大子序和
为何 DP能解决 有 负权值 的树 的树直径问题？
-
以
贪心思想实现的DFS算法暴露的问题就是只满足 “局部最优，而不顾全局”，Dijkstra算法同理也不能使用在有 负权值 的树。 -
全局最优的
DP动态规划算法可以弥补这个短板，Floyd算法基于 DP 同理也能使用在有 负权值 的树。
如何实现 动态规划？
d p [ u ] dp[u] dp[u] 是 以 u结点 为根节点的子树上，从 u结点 出发能到达的最远路径的长度，这个路径的终点是 u结点子树 的叶子节点
- 状态转移方程
d p [ u ] = m a x ( d p [ v i ] + e d g e [ u , v i ] ) dp[u]=max(dp[v_i]+edge[u,v_i]) dp[u]=max(dp[vi]+edge[u,vi])【 v i v_i vi 是 u 结点 u结点 u结点 第 i 个邻居节点， e d g e [ u , v i ] edge[u,v_i] edge[u,vi] 是他们边上的权值】
- 每个结点的最长路径长度
将 u 节点 u节点 u节点 的每个结点的最长路径长度 记录在 a n s [ u ] ans[u] ans[u] 里
f [ u ] f[u] f[u] 状态转换方程： f [ u ] = m a x ( d p [ u ] + d p [ v i ] + e d g e [ u , v i ] ) f[u]=max(dp[u]+dp[v_i]+edge[u,v_i]) f[u]=max(dp[u]+dp[vi]+edge[u,vi])【此时的 d p [ u ] dp[u] dp[u] 是不包含 v i 子树 v_i子树 vi子树 的，即 d p [ u ] = m a x ( d p [ v i ] + e d g e [ u , v i ] ) dp[u]=max(dp[v_i]+edge[u,v_i]) dp[u]=max(dp[vi]+edge[u,vi]) 是在这个状态转化方程后执行的】
maxlen=max(maxlen, dp[u]+dp[v]+edge[i].weight);
dp[u]=max(dp[u], dp[v]+edge[i].weight);
//注这里的 max函数 可以替换成 三目运算符 来实现
树的直径为 m a x l e n = m a x ( f [ u ] ) maxlen=max(f[u]) maxlen=max(f[u])，即 最大的 结点的最长路径长度（从定义出发考虑）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
vector<int> head(N,-1);
struct Edge{ //链式前向星int to,next;int weight;Edge():to(-1), next(-1){} //初始化为无邻居节点
} edge[N<<1];
int n; //人有n个，关系有n-1条
int maxlen=0; //树的直径
int cot=0;
vector<bool> visit(N,false);
vector<int> dp(N,0);
void Add_Edge(int u, int v,int w){edge[cot].to=v;edge[cot].weight=w;edge[cot].next=head[u]; //记录 上一个邻居节点 的 存储编号head[u]=cot++; //当前 邻居节点 的 存储编号，以便下一个邻居节点的访问
}
void DP(int u){visit[u]=true; //标记为已访问，避免下次再访问for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next){ //遍历cur节点的邻居节点[~i相当于i=-1]int v=edge[i].to; //v 是 u 的子节点int u_v=edge[i].weight; //u 与 v 边上的权值if(visit[v]) continue; //v已经算过了，避免重复遍历DP(v);maxlen=max(maxlen, dp[u]+dp[v]+u_v); //将当前值与历史最大比较dp[u]=max(dp[u], dp[v]+u_v); }
}
int main(void){int n; cin>>n;for(int i=1; i<n; i++){int u,v,w; cin>> u >> v >> w;Add_Edge(u,v,w); Add_Edge(v,u,w); //无向 记录 双向有向}DP(1);cout<<maxlen; return 0;
}
之pwd)