回溯算法

「所有可能的结果」，而不是「结果的个数」，一般情况下，我们就知道需要暴力搜索所有的可行解了，可以用「回溯法」。

回溯算法关键在于:不合适就退回上一步。在回溯算法中，递归用于深入到所有可能的分支，而迭代（通常在递归函数内部的循环中体现）用于探索当前层级的所有可能选项。

组合问题

39. 组合总和 - 力扣（LeetCode）

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

1.路径2.求和3.判断

 回溯算法：

在循环中回溯前有改变操作，调用回溯函数判断是否继续回溯，如果结束当前循环的回溯，在回溯后进行操作。

from typing import Listclass Solution:def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:res = []def backtrack(candidates, path, target, start):if sum(path) == target:res.append(path[:])returnif sum(path) > target:returnfor i in range(start, len(candidates)):path.append(candidates[i])backtrack(candidates, path, target, i)path.pop()backtrack(candidates, [], target, 0)return res# 实例化Solution类
solution = Solution()# 定义候选数字列表和目标值
candidates = [2, 3, 6, 7]
target = 7# 调用combinationSum方法并打印结果
combinations = solution.combinationSum(candidates, target)
print(combinations)

17. 电话号码的字母组合 - 力扣（LeetCode）

class Solution:def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:#数字对应的英文字母列表word_list = ["0", "0", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"]#如果是空字符串直接返回空列表if digits == "":return []#保存结果列表result = []#输入的digits的长度，作为回溯函数返回的判断条件lenth = len(digits)#回溯函数（path当前路径，默认为""）def back_track(digits, index, path):#如果目前path的长度和digits的长度相等，说明已经遍历完一趟，返回结果列表if len(path) == lenth:#加入result列表result.append(path)#返回return#遍历当前索引的数字对应的英文列表for word in word_list[int(digits[index])]:#路径加上当前字母path = path + word#递归下一个数字对应的英文列表back_track(digits, index + 1, path)#撤销当前字母path = path[:-1]back_track(digits, 0, "")return result

分割问题

131. 分割回文串 - 力扣（LeetCode）

class Solution(object):def partition(self, s):# 判断字符串是否为回文self.is_palindrome = lambda s: s == s[::-1]# 初始化结果列表，用于存储所有可能的分割方式result = []# 从空路径开始回溯self.backtrack(s, result, [])return resultdef backtrack(self, s, result, path):# 如果s为空，说明已经处理完所有字符，将当前路径加入结果列表if not s:result.append(path)return# 遍历字符串s，尝试每一种可能的分割方式for i in range(1, len(s) + 1):# 截取当前子串substring = s[:i]# 如果当前子串是回文，则继续递归处理剩余的字符串if self.is_palindrome(substring):# 将当前子串加入路径，并递归处理剩余字符串self.backtrack(s[i:], result, path + [substring])# 实例化Solution类
solution = Solution()# 定义字符串
s = "aab"# 调用partition方法并打印结果
partitions = solution.partition(s)
print(partitions)

子集问题

78. 子集 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集

start参数和i+1，指示了在递归过程中应该从数组的哪个位置开始考虑元素，以避免重复的组合。

每多一个数增加一次结果

from typing import Listclass Solution:def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:"""生成给定数字列表的所有可能子集。:param nums: 用于生成子集的整数列表。:return: 包含所有可能子集的列表。"""if not nums:return []res = []n = len(nums)# 定义递归辅助函数，用于回溯生成子集def backtrack(start: int, current_subset: List[int]):"""回溯辅助函数。:param start: 当前子集开始遍历的索引。:param current_subset: 当前正在构建的子集。"""# 将当前子集的副本添加到结果列表中res.append(current_subset[:])# 遍历剩余元素，尝试将其加入到子集中for i in range(start, n):# 将当前元素加入到子集，并递归继续构建子集backtrack(i + 1, current_subset + [nums[i]])# 从空子集开始回溯过程backtrack(0, [])return res# 示例用法：
solution = Solution()
print(solution.subsets([1, 2, 3]))

排列问题

46. 全排列 - 力扣（LeetCode）

from typing import Listclass Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:def backtrack(start, end):# 所有数都填完了，将当前排列加入结果集if start == end:res.append(nums[:])for i in range(start, end):# 交换前缀，将第 i 个元素固定在第 start 位nums[start], nums[i] = nums[i], nums[start]# 递归填下一个数backtrack(start + 1, end)# 撤销操作nums[start], nums[i] = nums[i], nums[start]res = []backtrack(0, len(nums))return res# 实例化并调用
solution = Solution()
nums = [1, 2, 3]
print(solution.permute(nums))

每循环完列表一次添加一次结果

棋盘问题

51. N 皇后 - 力扣（LeetCode）

class Solution:def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:# 从上往下放棋子# 按照row从小到大放置皇后board = [['.'] * n for _ in range(n)]res = []# 表示board中小于row的那些行（row上面的那些行）已经放置皇后了# 这一步开始往第row行放皇后def backtrack(row):n = len(board)# 如果到最后一行了，则将结果添加到res里if row == n:tmp = [''.join(i) for i in board]res.append(tmp)returnfor col in range(n):if not self.isValid(board, row, col):continueboard[row][col] = 'Q'backtrack(row + 1)board[row][col] = '.'backtrack(0)return res # 查看是否可以在board[row][col]的位置放置皇后def isValid(self, board, row, col):n = len(board)# 查看上方是否有Qfor i in range(row):if board[i][col] == 'Q':return False# 查看右上方是否有Qfor i, j in zip(range(row - 1, -1, -1), range(col + 1, n, 1)):if board[i][j] == 'Q':return False# 查看左上方是否有Qfor i, j in zip(range(row - 1, -1, -1), range(col - 1, -1, -1)):if board[i][j] == 'Q':return Falsereturn True 作者：山鬼TJU

79. 单词搜索 - 力扣（LeetCode）

class Solution(object):# 定义上下左右四个行走方向directs = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]def exist(self, board, word):""":type board: List[List[str]]:type word: str:rtype: bool"""m = len(board)if m == 0:return Falsen = len(board[0])mark = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]for i in range(len(board)):for j in range(len(board[0])):if board[i][j] == word[0]:# 将该元素标记为已使用mark[i][j] = 1if self.backtrack(i, j, mark, board, word[1:]) == True:return Trueelse:# 回溯mark[i][j] = 0return Falsedef backtrack(self, i, j, mark, board, word):if len(word) == 0:return Truefor direct in self.directs:cur_i = i + direct[0]cur_j = j + direct[1]if cur_i >= 0 and cur_i < len(board) and cur_j >= 0 and cur_j < len(board[0]) and board[cur_i][cur_j] == word[0]:# 如果是已经使用过的元素，忽略if mark[cur_i][cur_j] == 1:continue# 将该元素标记为已使用mark[cur_i][cur_j] = 1if self.backtrack(cur_i, cur_j, mark, board, word[1:]) == True:return Trueelse:# 回溯mark[cur_i][cur_j] = 0return False

22. 括号生成 - 力扣（LeetCode）

可以插入 ） 的前提是 ( 的数量大于 ）

class Solution(object):def generateParenthesis(self, n):""":type n: int:rtype: List[str]"""res = []self.dfs(res, n, n, '')return resdef dfs(self, res, left, right, path):if left == 0 and right == 0:res.append(path)returnif left > 0:self.dfs(res, left - 1, right, path + '(')if left < right:self.dfs(res, left, right - 1, path + ')')

贪心算法

例如，有一堆钞票，你可以拿走十张，如果想达到最大的金额，你要怎么拿？

指定每次拿最大的，最终结果就是拿走最大数额的钱。

每次拿最大的就是局部最优，最后拿走最大数额的钱就是推出全局最优。

• 将问题分解为若干个子问题
• 找出适合的贪心策略
• 求解每一个子问题的最优解
• 将局部最优解堆叠成全局最优解

121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

def max_profit(prices):if not prices:return 0max_profit = 0min_price = prices[0]for price in prices:# 更新到目前为止遇到的最小价格min_price = min(min_price, price)# 计算在当前价格卖出时的利润，并更新最大利润max_profit = max(max_profit, price - min_price)return max_profit# 示例
prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4]
print(max_profit(prices))  # 输出应为 5

 55. 跳跃游戏 - 力扣（LeetCode）

def can_jump(nums):# 最远能到达的位置max_reach = 0# 遍历数组for i, num in enumerate(nums):# 如果当前位置超过最远能到达的位置，说明无法到达当前位置if i > max_reach:return False# 更新最远能到达的位置max_reach = max(max_reach, i + num)# 如果最远能到达的位置已经覆盖了最后一个下标，则可以到达if max_reach >= len(nums) - 1:return Truereturn True# 示例
nums = [2, 3, 1, 1, 4]
print(can_jump(nums))  # 输出应为 True

 45. 跳跃游戏 II - 力扣（LeetCode）

def min_jumps(nums):n = len(nums)# 如果数组只有一个元素，不需要跳跃if n <= 1:return 0# 当前跳跃能到达的最远位置current_end = 0# 下一步跳跃能到达的最远位置farthest = 0# 跳跃次数jumps = 0# 遍历数组，但不包括最后一个元素，因为目标是在最后一个元素处停止for i in range(n - 1):# 更新最远能到达的位置farthest = max(farthest, i + nums[i])# 如果到达了当前跳跃的边界if i == current_end:# 增加跳跃次数jumps += 1# 更新当前跳跃的边界current_end = farthest# 如果当前跳跃的边界已经覆盖了最后一个元素，则可以停止if current_end >= n - 1:breakreturn jumps# 示例
nums = [2, 3, 1, 1, 4]
print(min_jumps(nums))  # 输出应为 2

 763. 划分字母区间 - 力扣（LeetCode）

def partitionLabels(s):# 记录每个字符最后出现的位置last = {c: i for i, c in enumerate(s)}ans = []start = end = 0# 遍历字符串for i, c in enumerate(s):# 更新当前片段的结束位置end = max(end, last[c])# 如果当前位置是当前片段的结束位置if i == end:# 记录当前片段的长度ans.append(end - start + 1)# 更新下一个片段的开始位置start = end + 1return ans# 示例
s = "ababcbacadefegdehijhklij"
print(partitionLabels(s))  # 输出

哈希表

1. 两数之和 - 力扣（LeetCode）

创建一个哈希表，对于每一个 x，我们首先查询哈希表中是否存在 target - x，然后将 x 插入到哈希表中，即可保证不会让 x 和自己匹配。

class Solution:def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:hashtable = dict()for i, num in enumerate(nums):if target - num in hashtable:return [hashtable[target - num], i]hashtable[nums[i]] = ireturn []

 49. 字母异位词分组 - 力扣（LeetCode）

class Solution:def groupAnagrams(self, strings: List[str]) -> List[List[str]]:mp = collections.defaultdict(list) # define a map from str to list of strfor string in strings:key = "".join(sorted(string))mp[key].append(string)return list(mp.values())

128. 最长连续序列 - 力扣（LeetCode）

class Solution:def longestConsecutive(self, nums: List[int]) -> int:ans = 0st = set(nums)  # 把 nums 转成哈希集合for x in st:  # 遍历哈希集合if x - 1 in st:continue# x 是序列的起点y = x + 1while y in st:  # 不断查找下一个数是否在哈希集合中y += 1# 循环结束后，y-1 是最后一个在哈希集合中的数ans = max(ans, y - x)  # 从 x 到 y-1 一共 y-x 个数return ans作者：灵茶山艾府

560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）

前后缀分解+哈希表

前缀和指一个数组的某下标之前的所有数组元素的和（包含其自身）

from collections import defaultdictclass Solution:def subarraySum(self, nums: list, k: int) -> int:# 初始化计数器，用于记录和为k的子数组的数量count = 0n = len(nums)# 使用defaultdict来存储前缀和出现的次数，初始时前缀和为0出现1次preSums = defaultdict(int)preSums[0] = 1# 初始化前缀和为0presum = 0# 遍历数组中的每个元素for i in range(n):# 更新当前的前缀和presum += nums[i]# 如果存在某个前缀和等于当前前缀和减去k，则说明存在一个子数组的和为k# defaultdict的特性使得当key不存在时返回0，所以这里不需要判断key是否存在count += preSums[presum - k]# 将当前前缀和出现的次数加1preSums[presum] += 1# 返回和为k的子数组的数量return count

双指针

283. 移动零 - 力扣（LeetCode）

快慢指针，当碰到0时i会比i0走的快

from typing import Listclass Solution:def moveZeroes(self, nums: List[int]) -> None:# 初始化一个指针i0，用于指向下一个非零元素应该放置的位置i0 = 0# 遍历数组中的每个元素for i in range(len(nums)):# 如果当前元素不是0，则将其与i0指向的位置的元素交换if nums[i]:# 交换元素，将非零元素移动到i0指向的位置nums[i], nums[i0] = nums[i0], nums[i]# 移动i0指针到下一个位置i0 += 1# 注意：这个方法直接修改了输入的数组，不需要返回值

11. 盛最多水的容器 - 力扣（LeetCode）

对撞指针两个指针列表一边一个向中间靠近，同时根据两者的高度判断两个指针是否前进

class Solution:def maxArea(self, height: List[int]) -> int:ans = left = 0right = len(height) - 1while left < right:area = (right - left) * min(height[left], height[right])ans = max(ans, area)if height[left] < height[right]:# height[left] 与右边的任意线段都无法组成一个比 ans 更大的面积left += 1else:# height[right] 与左边的任意线段都无法组成一个比 ans 更大的面积right -= 1return ans

42. 接雨水 - 力扣（LeetCode）

对撞指针

from typing import Listclass Solution:def trap(self, height: List[int]) -> int:# 初始化答案变量、左指针、前缀最大高度、后缀最大高度ans = left = pre_max = suf_max = 0# 初始化右指针指向数组的最后一个元素right = len(height) - 1# 当左指针小于右指针时，继续循环while left < right:# 更新当前左指针指向的柱子的前缀最大高度pre_max = max(pre_max, height[left])# 更新当前右指针指向的柱子的后缀最大高度suf_max = max(suf_max, height[right])# 如果左指针的前缀最大高度小于右指针的后缀最大高度if pre_max < suf_max:# 计算当前左指针位置可以捕获的水量，并累加到答案中ans += pre_max - height[left]# 移动左指针到下一个位置left += 1else:# 计算当前右指针位置可以捕获的水量，并累加到答案中ans += suf_max - height[right]# 移动右指针到下一个位置right -= 1# 返回计算出的总水量return ans

 15. 三数之和 - 力扣（LeetCode）

def threeSum(nums):# 首先对数组进行排序nums.sort()result = []# 遍历数组，直到倒数第三个元素for i in range(len(nums) - 2):# 如果当前数字大于0，则后面的数字都大于0，不可能和为0，直接返回结果if nums[i] > 0:return result# 跳过可能重复的数字if i > 0 and nums[i] == nums[i - 1]:continue# 初始化双指针left, right = i + 1, len(nums) - 1# 使用双指针遍历while left < right:total = nums[i] + nums[left] + nums[right]# 如果三数之和小于0，左指针右移if total < 0:left += 1# 如果三数之和大于0，右指针左移elif total > 0:right -= 1# 如果三数之和等于0，添加到结果中，并移动左右指针else:result.append([nums[i], nums[left], nums[right]])# 跳过可能重复的数字while left < right and nums[left] == nums[left + 1]:left += 1while left < right and nums[right] == nums[right - 1]:right -= 1left += 1right -= 1return result# 示例
nums = [-1, 0, 1, 2, -1, -4]
print(threeSum(nums))  # 输出应为[[-1, -1, 2], [-1, 0, 1]]

滑动窗口

在滑动窗口中，通常会使用两个指针，这两个指针分别被称为“快指针”和“慢指针”（也有其他叫法，如“左指针”和“右指针”），它们在数组或链表上移动以维护一个窗口。

• 快指针（右指针）：通常用于扩展窗口，即向右移动，探索新的元素。
• 慢指针（左指针）：通常用于收缩窗口，即向右移动，移除窗口中的元素。

3. 无重复字符的最长子串 - 力扣（LeetCode）

给定一个字符串 s ，请你找出其中不含有重复字符的 最长子串的长度。

class Solution:def lengthOfLongestSubstring(self, s: str) -> int:left,right = 0,0res = 0if len(s) == 0:return 0if s.count(s[0]) == len(s):return 1if len(set(s)) == len(s):return len(s)while right < len(s):if s[right] not in s[left:right]:right +=1res = max(res,len(s[left:right]))else:while s[right] in s[left:right]:left +=1return res

 438. 找到字符串中所有字母异位词 - 力扣（LeetCode）

class Solution:def findAnagrams(self, s: str, p: str) -> list:n, m, res = len(s), len(p), []  # 初始化字符串s和p的长度，以及结果列表if n < m: return res  # 如果s的长度小于p，则不可能包含异位词，直接返回空列表# 初始化两个长度为26的数组，用于存储字符计数p_cnt = [0] * 26s_cnt = [0] * 26# 统计字符串p中每个字符的出现次数for i in range(m):p_cnt[ord(p[i]) - ord('a')] += 1left = 0  # 初始化滑动窗口的左边界for right in range(n):  # 遍历字符串scur_right = ord(s[right]) - ord('a')  # 计算当前字符在数组中的索引s_cnt[cur_right] += 1  # 增加当前字符的计数# 如果当前字符在s中的出现次数超过了在p中的出现次数，移动左边界while s_cnt[cur_right] > p_cnt[cur_right]:cur_left = ord(s[left]) - ord('a')  # 计算左边界字符在数组中的索引s_cnt[cur_left] -= 1  # 减少左边界字符的计数left += 1  # 移动左边界# 如果滑动窗口的大小等于p的长度，则找到了一个异位词if right - left + 1 == m:res.append(left)  # 将左边界索引添加到结果列表中return res  # 返回所有异位词的起始索引列表

239. 滑动窗口最大值 - 力扣（LeetCode）

单调递减的双端队列来保存窗口中的元素索引，确保队列的首部始终是当前窗口的最大值的索引。

双端队列：deque允许在队列的两端进行插入和删除操作。

from collections import dequedef maxSlidingWindow(nums, k):if not nums or k == 0:return []deque = deque()  # 存储元素索引的单调队列result = []  # 存储结果for i in range(len(nums)):# 移除所有小于当前元素的索引while deque and nums[deque[-1]] <= nums[i]:deque.pop()# 将当前元素的索引加入队列deque.append(i)# 移除不在窗口内的索引if deque[0] < i - k + 1:deque.popleft()# 当窗口大小达到 k 时，记录当前窗口的最大值if i >= k - 1:result.append(nums[deque[0]])return result

76. 最小覆盖子串 - 力扣（LeetCode）

1. 初始化两个指针，left 和 right，它们分别表示滑动窗口的左右边界。
2. 使用两个哈希表（或字典）来记录当前窗口中的字符频率和目标字符串 t 中字符的频率。
3. 扩展 right 指针来增加窗口的大小，直到窗口包含了 t 中所有的字符。
4. 一旦窗口包含了 t 中所有的字符，尝试通过移动 left 指针来缩小窗口的大小，同时保持窗口包含 t 中所有的字符。
5. 在每次移动 left 指针时，如果窗口仍然包含 t 中所有的字符，则更新最小子串的长度和起始位置。
6. 重复步骤 3 和 4，直到 right 指针到达字符串 s 的末尾。

def min_window(s, t):if not t or not s:return ""# 初始化需要的字符及其频率need = {}for char in t:need[char] = need.get(char, 0) + 1#从字典中获取 char 对应的值。如果 char 不在字典中，则返回默认值 0# 初始化窗口中的字符及其频率window = {}valid = 0  # 用于记录窗口中满足 need 条件的字符个数left, right = 0, 0start, length = 0, float('inf')  # 最小子串的起始位置和长度while right < len(s):# 即将移入窗口的字符c = s[right]# 右移窗口right += 1# 更新窗口中的字符频率if c in need:window[c] = window.get(c, 0) + 1if window[c] == need[c]:valid += 1# 判断左侧窗口是否要收缩while valid == len(need):# 更新最小子串if right - left < length:start = leftlength = right - left# 即将移出窗口的字符d = s[left]# 左移窗口left += 1# 更新窗口中的字符频率if d in need:if window[d] == need[d]:valid -= 1window[d] -= 1# 返回最小子串return "" if length == float('inf') else s[start:start + length]# 示例
s = "ADOBECODEBANC"
t = "ABC"
print(min_window(s, t))  # 输出 "BANC"

广度优先搜索算法基本用的就是队列，深度优先搜索算法（DFS）用的基本都是递归