鞅的定义_

内容来源
应用随机过程(第五版)张波 商豪 邓军 编著


定义

随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn} 称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn}下鞅,如果

n ⩾ 0 n\geqslant0 n0 X n X_n Xn Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n Y_0,Y_1,\cdots,Y_n Y0,Y1,,Yn 的函数

E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) ⩾ X n E ( X n + ) < ∞ , X n + = max ⁡ { 0 , X n } E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)\geqslant X_n\\ E(X^+_n)<\infty,\ X^+_n=\max\{0,X_n\} E(Xn+1Y0,Y1,,Yn)XnE(Xn+)<, Xn+=max{0,Xn}

随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn} 称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn}上鞅,如果

n ⩾ 0 n\geqslant0 n0 X n X_n Xn Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n Y_0,Y_1,\cdots,Y_n Y0,Y1,,Yn 的函数

E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) ⩽ X n E ( X n − ) < ∞ , X n − = max ⁡ { 0 , − X n } E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)\leqslant X_n\\ E(X^-_n)<\infty,\ X^-_n=\max\{0,-X_n\} E(Xn+1Y0,Y1,,Yn)XnE(Xn)<, Xn=max{0,Xn}

{ X n } \{X_n\} {Xn} 兼为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn} 的下鞅与上鞅,则称为关于 { Y n } \{Y_n\} {Yn}

此时

E ( X n + 1 ∣ Y 0 , Y 1 , ⋯ , Y n ) = X n E(X_{n+1}|Y_0,Y_1,\cdots,Y_n)=X_n E(Xn+1Y0,Y1,,Yn)=Xn

σ \sigma σ 代数的鞅

{ F n } \{\mathscr{F}_n\} {Fn} 是一个 F \mathscr{F} F 中单调递增的子 σ \sigma σ 代数流

称随机过程 { X n } \{X_n\} {Xn} 是关于 F n {\mathscr{F}_n} Fn 的鞅,如果

X n {X_n} Xn F n {\mathscr{F}_n} Fn 适应的

E ( ∣ X n ∣ ) < ∞ E(|X_n|)<\infty E(Xn)<

并且 ∀ n > 0 \forall n>0 n>0,有

E ( X n + 1 ∣ F n ) = X n E(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)=X_n E(Xn+1Fn)=Xn

适应列 { X n , F n } \{X_{n},\mathscr{F}_n\} {Xn,Fn} 称为下鞅,如果

E ( X n + ) < ∞ 且 E ( X n + 1 ∣ F n ) ⩾ X n E(X^+_n)<\infty且E(X_{n+1}|\mathscr{F}_n)\geqslant X_n E(Xn+)<E(Xn+1Fn)Xn

上鞅定义类似

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