概念

介绍堆之前得说一下二叉树，因为堆的逻辑结构是二叉树，二叉树的树的子集，树只有一个根节点，向下衍生出了很多节点，并且这个节点之间相互没有连接，除非是父子节点，如果有连接了那就是图；如果拥有很多独立不连接的树，这样的数据结构称之为森林。
如果对树作进一步的限制：每一个节点（包括根节点）最多只有两个子树，那么这样的树叫做二叉树，比如：

这种也是：

二叉树呢又可以分为完全二叉树和满二叉树：
完全二叉树就是每一个节点都有两个子树（子节点），例如：

满二叉树就是除了最后一层，也就是最底下的一层，其他的每层都是完全二叉树，并且最后一层的节点得从左到右存在，下面这种就属于满二叉树：

但是这种就不属于满二叉树：

堆的逻辑数据结构就是使用满二叉树实现的，为什么说是逻辑呢？这是因为我们在实际实现的时候使用的是数组来实现的，原因如下:
如果我们想使用数组来存储下面这个二叉树：

这样对吗？像这样写的话，岂不是没有二叉树的特点了，比如怎么判断左右子树呢？所以我们得从上到下，从左到右的添加进数组。

例如：

这样就可以轻松知道左右子树从而通过数组构建出二叉树了，但是这个数组的中间浪费了不少空间，如何避免呢？
那就是使用满二叉树。

数组中的任意一个节点怎么能够得到他的左右子节点和父节点呢？可以通过下面的几个公式：
如果想知道数组arr里面的节点i的左右子节点和父节点：

• 父节点=arr[(i-1)/2]
• 左节点=arr[i*2+1];
• 右节点=arr[i*2+2];

概念说完了，我们接下来可以用这种数据结构来构建一个大堆和小堆，大堆的特点是父节点一定大于子节点，但是左右节点没有讲究，小堆则相反。
利用大小堆可以实现topk问题，也就是求出一堆数据中第几大（小）的数是哪一个。也可以实现堆排序。

实现

先实现一个大堆：

然后就得插入数据：

每次插入数据都是插入到数组的最后面，也就是二叉树的最下一层的最右边，此时需要维护大堆的规则，也就是父节点的值大于子节点的值，由于每次插入时都是在最下面，所以如果不符合规则，当前插入的值大于父节点，我们就利用adjustUp函数进行向上调整。如下：

void Heap::adjustUp()
{int curIndex = _heap.size() - 1;while (curIndex > 0){int parentIndex = (curIndex - 1) / 2;if (_heap[parentIndex] < _heap[curIndex]){std::swap(_heap[parentIndex], _heap[curIndex]);curIndex = parentIndex;}else{break;}}}

写一下测试跑跑看吧：

#include "heap.h"int main() {Heap heap;heap.insert(1);heap.insert(2);heap.insert(3);
}

喔吼！拿不到数组的值，我们要得到堆顶的值，那就写一个吧：

int Heap::top()
{if (_heap.size() > 0){return _heap[0];}}

运行得到：

可以看到堆顶的数据3，数组下标0处的数据是3，可以我们在插入的时候，0处一开始插入的是1，但是结果是3，这就说明没有问题。

如果要实现topk问题，我们需要每次都将堆顶的元素给删除了，如果求第3大的数，我们就删除两次，然后此时堆顶的元素就是第3大的数了下面我们来实现删除功能：

在数组中如果直接删除下标0处的元素，在进行调整，这样会需要变动整个数组，效率低下；因此，我们选择将下标0处的元素与最后一个元素交换，然后直接删除最后一个元素，在进行向下调整即可：

void Heap::pop()
{if (_heap.size() > 0){std::swap(_heap[0], _heap[_heap.size() - 1]);_heap.pop_back();adjustDown();}
}void Heap::adjustDown()
{int size = _heap.size();int curIndex = 0, leftIndex = 1;while (leftIndex < size){if (leftIndex + 1 < size && _heap[leftIndex] < _heap[leftIndex + 1]){leftIndex++;}if (_heap[curIndex] < _heap[leftIndex]){std::swap(_heap[curIndex], _heap[leftIndex]);curIndex = leftIndex;leftIndex = curIndex * 2 + 1;}else{break;}}}

在adjustDown这个函数中，利用leftIndex + 1 < size && _heap[leftIndex] < _heap[leftIndex + 1]来判断左右节点哪一个更大一些，然后用较大值和父节点的值进行比较，如果父节点的值小于子节点的值，那么就要向下调整，也就是需要交换，之后更新当前的父节点和左节点，再次进行判断。

下面进行测试：

结果也没有问题。

然后我们根据这个进行堆排序的编写：
测试代码如下：

int main() {srand((unsigned int)time(NULL));std::vector<int> v;for (int i = 0; i < 100; i++){v.push_back(rand()%100);}Heap heap;heap.sort(v);for (auto& e : v){std::cout << e << " ";}
}

结果也没有问题。

完整代码

//heap.h
#pragma once
#include <vector>
#include <iostream>
#include <cassert>class Heap {
public:Heap();~Heap();void insert(int value);void adjustUp();int top();void pop();void adjustDown();void sort(std::vector<int>& v);
private:std::vector<int> _heap;
};

//heap.cpp
#include "heap.h"Heap::Heap()
{}Heap::~Heap()
{}void Heap::insert(int value)
{_heap.push_back(value);adjustUp();
}void Heap::adjustUp()
{int curIndex = _heap.size() - 1;while (curIndex > 0){int parentIndex = (curIndex - 1) / 2;if (_heap[parentIndex] < _heap[curIndex]){std::swap(_heap[parentIndex], _heap[curIndex]);curIndex = parentIndex;}else{break;}}}int Heap::top()
{if (_heap.size() > 0){return _heap[0];}}void Heap::pop()
{if (_heap.size() > 0){std::swap(_heap[0], _heap[_heap.size() - 1]);_heap.pop_back();adjustDown();}
}void Heap::adjustDown()
{int size = _heap.size();int curIndex = 0, leftIndex = 1;while (leftIndex < size){if (leftIndex + 1 < size && _heap[leftIndex] < _heap[leftIndex + 1]){leftIndex++;}if (_heap[curIndex] < _heap[leftIndex]){std::swap(_heap[curIndex], _heap[leftIndex]);curIndex = leftIndex;leftIndex = curIndex * 2 + 1;}else{break;}}}void Heap::sort(std::vector<int>& v)
{for (int i = 0; i < v.size(); i++){insert(v[i]);}for (int i = 0; i < v.size(); i++){v[i] = top();pop();}
}

//main.c
#include "heap.h"
#include <ctime>int main() {/*Heap heap;heap.insert(1);heap.insert(2);heap.insert(3);heap.pop();std::cout << heap.top() << std::endl;heap.pop();std::cout << heap.top() << std::endl;*/srand((unsigned int)time(NULL));std::vector<int> v;for (int i = 0; i < 100; i++){v.push_back(rand()%100);}Heap heap;heap.sort(v);for (auto& e : v){std::cout << e << " ";}
}

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