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• 二维随机向量及其分布
• • 随机向量
  • 离散型随机向量的概率分布律
  • • 性质
    • 示例
    • • 问题
      • 解答
  • 连续型随机向量的概率密度函数
  • 随机向量的分布函数
  • • 性质
    • 连续型随机向量
    • • 均匀分布
• 边缘分布
• • 边缘概率分布律
  • 边缘概率密度函数
  • • 二维正态分布
    • • 示例
      • • 问题
        • 解答
  • 边缘分布函数

二维随机向量及其分布

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随机向量

• 一般地，称$n$个随机变量的整体$X=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$为$n$维随机向量

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离散型随机向量的概率分布律

• 设二维离散型随机向量$(X,Y)$的所有可能取值的集合为 G = { ( x i , y j ) , i , j = 1 , 2 , ⋯ } G = \set{(x_{i}, y_{j}) , i, j = 1, 2, \cdots} G={(xi​,yj​),i,j=1,2,⋯}，并记$(X,Y)$取各个可能取值的概率为 p i j = P { X = x i , Y = y j } , i , j = 1 , 2 , ⋯ p_{ij} = P\set{X = x_{i} , Y = y_{j}} , i, j = 1, 2, \cdots pij​=P{X=xi​,Y=yj​},i,j=1,2,⋯，称为二维离散型随机向量$(X,Y)$的概率分布律，或称为$X$，$Y$的联合分布律

性质

• $p_{ij}\ge 0(i,j=1,2,\cdots )$

• $\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$

• 满足上述$2$个性质的数集 { p i j , i , j = 1 , 2 , ⋯ } \set{p_{ij} , i, j = 1, 2, \cdots} {pij​,i,j=1,2,⋯}必可构成某二维离散型随机向量的一个分布律

示例

问题

• 某盒内放有$12$个大小相同的球，其中$5$个红球，$4$个白球，$3$个黑球，第一次随机地摸出$2$个球，观察后不放回，第二次再取出$3$个球，以$X_i$表示第$i$次取到红球的数目，$i=1,2$，求$(X_1,X_2)$的分布律

解答

• P { X 1 = i , X 2 = j } = P { X 1 = i } P { X 2 = j ∣ X 1 = i } = C 5 i C 7 2 − i C 12 2 × C 5 − i j C 5 + i 3 − j C 10 3 ( i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , 3 ) P\set{X_{1} = i , X_{2} = j} = P\set{X_{1} = i} P\set{X_{2} = j | X_{1} = i} = \frac{C_{5}^{i} C_{7}^{2 - i}}{C_{12}^{2}} \times \frac{C_{5 - i}^{j} C_{5 + i}^{3 - j}}{C_{10}^{3}} (i = 0, 1, 2 , j = 0, 1, 2, 3) P{X1​=i,X2​=j}=P{X1​=i}P{X2​=j∣X1​=i}=C122​C5i​C72−i​​×C103​C5−ij​C5+i3−j​​(i=0,1,2,j=0,1,2,3)

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连续型随机向量的概率密度函数

• 设二维随机向量$(X,Y)$，若存在非负可积函数$f(x,y)(-\infty <x,y<+\infty )$，使得对任意实数对$a_1\le b_1$，$a_2\le b_2$都有 P { a 1 ≤ X ≤ b 1 , a 2 ≤ Y ≤ b 2 } = ∫ a 1 b 1 ∫ a 2 b 2 f ( x , y ) d x d y P\set{a_{1} \leq X \leq b_{1} , a_{2} \leq Y \leq b_{2}} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}{f(x, y) dx dy} P{a1​≤X≤b1​,a2​≤Y≤b2​}=∫a1​b1​​∫a2​b2​​f(x,y)dxdy，则称$(X,Y)$为二维连续型随机向量，称$f(x,y)$为$(X,Y)$的概率密度函数或$X$和$Y$的联合概率密度函数，简称联合概率密度

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随机向量的分布函数

• 设$(X,Y)$是二维随机向量，对于任意实数$x$，$y$，称二元函数 F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x, y) = P\set{X \leq x , Y \leq y} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为二维随机向量$(X,Y)$的分布函数，或随机变量$X$，$Y$的联合分布函数
• 对于任意的实数$x_1$，$x_2$，$y_1$，$y_2$，$x_1<x_2$，$y_1<y_2$随机点$(X,Y)$落入矩形区域 G = { ( X , Y ) ∣ x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } G = \set{(X, Y) | x_{1} < X \leq x_{2} , y_{1} < Y \leq y_{2}} G={(X,Y)∣x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}内的概率可由分布函数表示为 P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\set{x_{1} < X \leq x_{2} , y_{1} < Y \leq y_{2}} = F(x_{2}, y_{2}) - F(x_{2}, y_{1}) - F(x_{1}, y_{2}) + F(x_{1}, y_{1}) P{x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)+F(x1​,y1​)

性质

• $F(x,y)$对每个自变量是单调不减函数，即对任意固定的$y$，若$x_1<x_2$，则$F(x_1,y)\le F(x_2,y)$

• $F(-\infty ,y)=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x,y)=0$

• $F(x,y)$对每个自变量都是右连续的，即$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$

• 对于任意的$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，若$x_1<x_2$，$y_1<y_2$，则$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0$

连续型随机向量

• 对于二维连续型随机向量$(X,Y)$，可以证明，若$D$是$xOy$平面上一个可度量的平面区域，则有 P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\set{(X, Y) \in D} = \iint\limits_{D}{f(x, y) dx dy} P{(X,Y)∈D}=D∬​f(x,y)dxdy

• 若概率密度$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，则有$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

均匀分布

• 设二维随机向量$(X,Y)$的概率密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& (x,y)\in D\\ 0,& (x,y)\notin D\end{array}$$

• 则称$(X,Y)$服从区域$D$上的均匀分布

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边缘分布

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边缘概率分布律

• 二维离散型随机向量$(X,Y)$的两个分量$X$与$Y$的概率分布律分别称为随机向量$(X,Y)$关于$X$，$Y$的边缘概率分布律

• p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j p i j ( i = 1 , 2 , ⋯ ) p_{i \cdot} = P\set{X = x_{i}} = \sum\limits_{j}{p_{ij}} (i = 1, 2, \cdots) pi⋅​=P{X=xi​}=j∑​pij​(i=1,2,⋯)

• p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i p i j ( j = 1 , 2 , ⋯ ) p_{\cdot j} = P\set{Y = y_{j}} = \sum\limits_{i}{p_{ij}} (j = 1, 2, \cdots) p⋅j​=P{Y=yj​}=i∑​pij​(j=1,2,⋯)

• 由联合分布律可以唯一确定边缘分布律，反之则不然

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边缘概率密度函数

• 二维连续型随机向量$(X,Y)$关于其分量$X$，$Y$的概率密度分别记为$f_X(x)$，$f_Y(y)$，分别称$f_X(x)$，$f_Y(y)$为$(X,Y)$关于$X$，$Y$的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度

• $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$

• $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

二维正态分布

• 若二维连续型随机向量$(X,Y)$的概率密度为

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}(-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty )$$

• 其中${\mu }_1$，${\mu }_2$，${\sigma }_1$，${\sigma }_2$，$\rho$均为常数，且${\sigma }_1>0$，${\sigma }_2>0$，$|\rho |<1$，则称$(X,Y)$服从参数为${\mu }_1$，${\mu }_2$，${\sigma }_1^2$，${\sigma }_2^2$，$\rho$的二维正态分布，记为$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$

示例

问题

• 求二维正态随机向量$(X,Y)$关于$X$，$Y$的边缘概率密度

解答

• $\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}=(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}-\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}{)}^2+(1-{\rho }^2)\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}$

• 令$t=\frac{1}{\sqrt{1-{\rho }^2}}(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}-\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1})$，$dy={\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}dt$

$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{1}{2(1-\rho {)}^2}(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}-\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}{)}^2}dy\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}},-\infty <x<+\infty \end{array}$$

• 由此可知，二维正态分布的随机向量$(X,Y)$关于$X$，$Y$的边缘分布都是正态分布，且若$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，则$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，由于边缘概率密度与参数$\rho$无关，故对不同的二维正态分布，只要参数${\mu }_1$，${\mu }_2$，${\sigma }_1$，${\sigma }_2$对应相同，那么它们的边缘分布都是相同的，这一事实表明，虽然$X$，$Y$的联合概率密度决定边缘密度，但反之不真

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边缘分布函数

• 二维随机向量$(X,Y)$关于两个分量$X$，$Y$的分布函数分别记为$F_X(x)$、$F_Y(y)$，分别称之为随机向量$(X,Y)$关于$X$，$Y$的边缘分布函数

• F X ( x ) = P { X ≤ x } = P { X ≤ x , Y < + ∞ } = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( u , y ) d y ] d u F_{X}(x) = P\set{X \leq x} = P\set{X \leq x , Y < + \infty} = \lim\limits_{y \rightarrow + \infty}{F(x, y)} = F(x, + \infty) = \int_{- \infty}^{x}{\left[\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(u, y) dy}\right] du} FX​(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=y→+∞lim​F(x,y)=F(x,+∞)=∫−∞x​[∫−∞+∞​f(u,y)dy]du

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