高等数学学习笔记 ☞ 洛必达法则与泰勒公式

1. 洛必达法则

1. $\frac{0}{0}$ 型与 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式（洛必达法则）

（1） $\frac{0}{0}$ 型：若函数 $f(x),g(x)$ 同时满足以下条件：（2） $\frac{\infty }{\infty }$ 型：若函数 $f(x),g(x)$ 同时满足以下条件：

①：当 $x\rightarrow a$ 时， $f(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow 0$ 。 ①：当 $x\rightarrow \infty$ 时， $f(x)\rightarrow 0 ,g(x)\rightarrow 0$ 。

②：在点 $a$ 的某去心邻域内， ${f}'(x),{g}'(x)$ 存在且 ${g}'(x)\neq 0$ 。 ②：当 $|x|>N$ 时， ${f}'(x),{g}'(x)$ 存在且 ${g}'(x)\neq 0$ 。

③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 存在或者为无穷大。 ③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 存在或者为无穷大。

则有： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 。则有： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 。

注意事项：

①：求解函数的极限时，洛必达法则可以多次重复使用，但每次使用之前需要检验是否满足洛必达法则条件。

②：函数求导之后的极限为无穷大，那么函数求导之前的极限也为无穷大。

③：函数求导之后的极限不存在(除去无穷大的情况)，那么函数求导之前的极限存在与否不确定。

④：求解函数极限时，优先考虑使用等价无穷小替换，然后再考虑其他求解方法。

⑤：使用洛必达法则求极限时，要学会配合其他方法一起使用。

2. 其他未定式：

（1） $0*\infty$ 型：此类型的未定式可进行适当变形，即： $0*\infty\Rightarrow \frac{\infty }{\frac{1}{0}}=\frac{\infty }{\infty }$ 或者 $0*\infty\Rightarrow \frac{0 }{\frac{1}{\infty }}=\frac{0 }{0 }$ 。

（2） $\infty -\infty$ 型：此类型的未定式一般都是先进行通分处理，然后再看属于哪种类型的未定式。

（3） $0^{0}$ 型：此类型的未定式可进行适当变形，即： $e^{\ln ^{0 ^{0 }}}=e^{0 \ln ^{0}}$ ，而 ${0 \ln ^{0}}$ 为 $0*\infty$ 型。

（4） $1^{\infty }$ 型：此类型的未定式可进行适当变形，即： $e^{\ln ^{1 ^{\infty }}}=e^{\infty \ln ^{1}}$ ，而 ${\infty \ln ^{1}}$ 为 $\infty * 0$ 型。

（5） $\infty ^{0}$ ：此类型的未定式可进行适当变形，即： $e^{\ln ^{\infty ^{0}}}=e^{0\ln ^{\infty}}$ ，而 ${0\ln ^{\infty}}$ 为 $0*\infty$ 型。

2. 泰勒公式

2.1 泰勒公式的引入

在以往的学习过程中，比如，当 $x\rightarrow 0$ 时，有以下关系：

①：从等价无穷小的角度来看： $\sin x \sim x$ ， $e^{x}-1\sim x$ ， $\ln (1+x)\sim x$ 。

②：从微分的角度来看： $\sin x \approx x$ ， $e^{x}-1\approx x$ ， $\ln (1+x)\approx x$ 。

以上的关系，都是当 $x\rightarrow 0$ 时，用一次的多项式去近似目标函数，此时虽然是近似的，但相对来说误差还是比较大的。

此时泰勒研究了一下，提出了自己的建议，用一次的多项式不行，那就用高次的多项式(固定的函数的图像是唯一的，那

么多个函数叠加到一起的图像，距离目标图像就越接近)，所以他就引进了用高次的多项式来近似目标函数，即泰勒多项式，

同时该做法也解除了只能在零点附近近似的限制，推广到任意点的近似。

简单来说，泰勒公式的核心思想就是用一个多项式来近似替代目标函数。那么就会有人问了，好好的目标函数不用，

为啥要用多项式来近似替代目标函数呢，这主要是因为当前的计算机对多项式的处理速度要比处理目标函数快的多，虽然

牺牲了一点点精度，但大大提升了计算速度。

2.2 泰勒多项式

以下的多项式就是所谓的泰勒多项式，即：

$P_{n}(x)= a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}$ 。

由于泰勒多项式与目标函数是高度近似的，那么如何保证泰勒多项式与目标函数非常接近呢？只要满足两个条件即可：

①：泰勒多项式 $P_{n}(x)$ 与目标函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处的函数值相等。

②：泰勒多项式 $P_{n}(x)$ 与目标函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处的各阶导数都相等。

根据该上述两个条件可求得泰勒多项式的各个系数(又称泰勒系数)，如下所示，即：

$f(x_{0}) = P_{n}(x_{0})$ ， ${f}'(x_{0})={P_{n}}'(x_{0})$ ， ${f}''(x_{0})={P_{n}}''(x_{0})$ ， $...$ $f^{(n)}(x_{0}) = P_{n}^{(n)}(x_{0})$ 。

由上述等式可得： $a_{0}=f(x_{0})$ $a_{1}={f}'(x_{0})$ $a_{2}=\frac{1}{2!}{f}''(x_{0})$ $a_{n}=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})$

此时，根据多项式的系数也就确定了多项式。

2.3 泰勒公式的文字描述

若函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，则在 $x_{0}$ 的某邻域内，对于该邻域内的任意点 $x$ 都有如下关系：

$f(x) = f(x_{0})+{f}'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{1}{2!}{f}''(x_{0})(x-x_{0})^{2} + ...+\frac{1}{n!}f^{(n)}$ $(x_{0})(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)$ 。

其中： $R_{n}(x)$ 称为多项式的余项，也就是误差项。

①：当 $R_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n})$ 时，多项式的余项 $R_{n}(x)$ 称为佩亚诺余项。此时该目标函数的展开式称为带有佩亚诺余项的

$n$ 阶泰勒公式。

②：当 $R_{n}(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi )(x-x_{0})^{n+1}$ 时，多项式的余项 $R_{n}(x)$ 称为拉格朗日余项，其中 $\xi$ 属于 $x$ 与 $x_{0}$ 之间。此时

该目标函数的展开式称为带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。

备注：

（1）误差项解释说明：用泰勒多项式近似函数 $f(x)$ 是存在误差的，不能准确的表示函数 $f(x)$ ，所以需要补充一个误差项

就可以与函数 $f(x)$ 相等了。而实际情况这个误差是求解不出来的，故选择 $f(x)-P_{n}(x)$ 是比

$(x-x_{0})^{n}$ 的高阶无穷小来作为误差项。

（2）带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式（前者）与带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式（后者）区别：

①：前者只需要点 $x_{0}$ 处可导即可，后者需要闭区间 $[x,x_{0}]$ 可导。前者只需要可导至 $n$ 阶即可，后者需要可导至 $n+1$ 阶。

②：前者适合求解极限的问题，后者适合近似值计算的问题。

（3）当 $n= 0$ 时， $f(x)=f(x_{0})+{f}'(\xi )(x-x_{0})$ ，即为拉格朗日中值定理的表达式。

2.4 麦克劳林公式的文字描述

麦克劳林公式就是当 $x_{0}=0$ 时的泰勒公式，即：

$f(x) = f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0)x^{2} + ...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^{n}+R_{n}(x)$ 。

①：当 $R_{n}(x)=o(x^{n})$ 时，多项式的余项 $R_{n}(x)$ 称为佩亚诺余项。此时该目标函数的展开式称为带有佩亚诺余项的 $n$ 阶

麦克劳林公式。

②：当 $R_{n}(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi )x^{n+1}$ 时，多项式的余项 $R_{n}(x)$ 称为拉格朗日余项，其中 $\xi$ 属于 $x$ 与 $x_{0}$ 之间。此时该目标函数

的展开式称为带有拉格朗日余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。

备注：当 $n= 0$ 时， $f(x)=f(0)+{f}'(\xi )x$ 。

2.5 常见函数的展开式

（1） $e^{x} = 1+x+ \frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+...+\frac{1}{n!}x^{n}+R_{n}(x)$ 。 $R_{n}(x)=o(x^{n})$

（2） $\sin x= x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}-\frac{1}{7!}x^{7} +...+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+R_{n}(x)$ 。 $R_{n}(x)=o(x^{2n-1})$

（3） $\cos x= 1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}-\frac{1}{6!}x^{6} +...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+R_{n}(x)$ 。 $R_{n}(x)=o(x^{2n})$

（4） $\ln (1+x) = x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+...+ \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}+R_{n}(x)$ 。 $R_{n}(x)=o(x^{n})$

（5） $(1+\alpha )^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{1}{2!}\alpha (\alpha -1)x^{2}+...+\frac{1}{n!}\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)x^{n} +R_{n}(x)$ 。 $R_{n}(x)=o(x^{n})$