实现AVL树

目录

AVL树概念

AVL树结构

AVL树插入

LL型 - 右单旋

RR型 - 左单旋

LR型 - 左右双旋

RL型 - 右左双旋

插入代码实现

AVL树测试

 附AVL树实现完整代码

AVL树概念

前面的博客介绍了搜索二叉树，二叉搜索树-CSDN博客

在某些特定的情况下，⼆叉搜索树是会退化成单链表的，并且各种操作的效率也会明显的下降，因此我们需要⼀些特别的⼿段保证这个⼆叉搜索树的“平衡”，进⽽保证各种操作的 效率。这就是我们接下来要学习的平衡⼆叉树

为了保证⼆叉搜索树的性能，规定在插⼊和删除结点时，要保证任意结点的左、⼦树⾼度差的绝对值不超过1 ，这样的⼆叉树称为平衡⼆叉树(简称AVL树)。

其中结点左⼦树与右⼦树的⾼度差定义为该结点的平衡因⼦(⼀般是左⼦树的⾼度减去右⼦树的⾼ 度。当然，反过来也是可以的）

由此可⻅，平衡⼆叉树中，每⼀个结点的平衡因⼦只可能是 0/1/-1，如下图所⽰：结点上⽅的数字表⽰平衡因⼦。左图是⼀棵平衡⼆叉树，右图不是⼀棵平衡⼆叉树

AVL树结构

我们采用三叉链的结构实现节点，因为AVL树调平衡的过程需要向上找父节点，因此需要存储父节点的指针信息

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{//三叉链AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf; //平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:Node* _root = nullptr;
};

AVL树插入

在⼆叉搜索树中插⼊新结点之后，插⼊路径的点中，可能存在很多平衡因⼦的绝对值⼤于1的，此时找到距离插⼊结点最近的不平衡的点，以这个点为根的字树就是不平衡子树。如下图:

插⼊之后，会导致三个结点失衡，其中距离最近的 结点为根的⼦树，就是最小不平衡子树。可以发现，仅需让最⼩不平衡⼦树平衡，所有结点就都平衡了，感性认知如下:

1. 本来整棵树就是平衡⼆叉树，如果来了⼀个结点导致失衡，那么失衡结点的平衡因⼦只能是2或者 -2；

2 .当我们把最⼩平衡⼦树调整平衡之后，那么这棵⼦树的⾼度就会减 ，向上传递的过程中，会让 整个路径⾥⾯的平衡因⼦都向0靠近⼀位，原来的-2会变成-1，原来的2会变成1，整棵树就变得平衡了。

而最⼩不平衡⼦树的出现可以细分成4种情况，因此调整策略也会分为4种情况讨论。为了方便叙述， 设最小不平衡子树的根节点为T。

LL型 - 右单旋

 LL 表示：新结点由于插⼊在T结点的左孩⼦(L)的左⼦树(LL)中，从⽽导致失衡。如下图所示:

此时需要将L右旋：

• 将结点L向右上旋转代替结点T作为根结点；

• 将节点T向右下旋转作为结点L的右⼦树的根结点；

• 结点L的原右⼦树(LR)则作为结点T的左⼦树

旋转之后，依旧满⾜平衡⼆叉树的特性：LL < L < LR < T < R

案例：下列AVL树中插⼊1

最⼩不平衡⼦树是以 13 为根的⼦树，引起不平衡的原因是 13的左孩⼦的左⼦树上插⼊⼀个新的结点，因此需要右旋⼀次。右旋的结点为10

代码实现:

void RotateR(Node *parent)
{Node *subL = parent->_left;Node *subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node *parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
RR型 - 左单旋

RR表⽰：新结点由于插⼊在T结点的右孩⼦(R)的右⼦树(RR)中，从⽽导致失衡。如下图所⽰：

此时需要⼀次向左的旋转操作，将R左旋：

• 将结点R向左上旋转代替结点T作为根结点；

• 将节点T向左下旋转作为结点R的左⼦树的根结点；

• 结点R的原左⼦树(RL)则作为结点T的右⼦树。 如下图：

案例：下列AVL树中插⼊64

最⼩不平衡⼦树是以 49 为根的⼦树，引起不平衡的原因是 49 的右孩⼦的右⼦树上插⼊⼀个新的结 点，因此需要左旋⼀次。左旋的结点为59

代码实现

void RotateL(Node *parent)
{Node *subR = parent->_right;Node *subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;// 旋转之后整棵子树的根变了, 需要重新链接Node *parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
LR型 - 左右双旋

LR表⽰：新结点由于插⼊在T结点的左孩⼦(L)的右⼦树(LR)中，从⽽导致失衡。如下图所⽰：

此时需要两次旋转操作，先将LR左旋，再将LR右旋。

将LR左旋：

• 将结点LR向左上旋转代替结点L作为根结点；

• 将节点L向左下旋转作为结点LR的左⼦树的根结点；

• 结点LR的原左⼦树(LRL)则作为结点L的右⼦树。

将LR右旋：

• 将结点LR向右上旋转代替结点T作为根结点；

• 将节点T向右下旋转作为结点LR的右⼦树的根结点；

• 结点LR的原右⼦树(LRR)则作为结点T的左⼦树。

案例：下列AVL树中插⼊1

最⼩不平衡⼦树是以49为根的⼦树，引起不平衡的原因是49的左孩⼦的右⼦树上插⼊⼀个新的结点，因此需要左旋⼀次，然后右旋⼀次。旋转的结点为45：

void RotateLR(Node *parent)
{Node *subL = parent->_left;Node *subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf; // subLR不可能为nullptr，因为subL的平衡因子是-1RotateL(subL);RotateR(parent);// 3、更新平衡因子if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = subL->_bf = parent->_bf = 0;}else{assert(false); // 在旋转前树的平衡因子就有问题}
}
RL型 - 右左双旋

RL表⽰：新结点由于插⼊在T结点的右孩⼦(R)的左⼦树(RL)中，从⽽导致失衡。如下图所⽰：

此时需要两次旋转操作，先将RL右旋，再将RL左旋。将RL右旋：

• 将结点RL向右上旋转代替结点R作为根结点；

• 将节点R向右下旋转作为结点RL的右⼦树的根结点；

• 结点RL的原右⼦树(RLR)则作为结点R的右⼦树。

将RL左旋：

• 将结点RL向左上旋转代替结点T作为根结点；

• 将节点T向左下旋转作为结点RL的左⼦树的根结点；

• 结点RL的原左⼦树(RLL)则作为结点T的右⼦树。

案例：下列AVL树中插⼊52

最⼩不平衡⼦树是以49为根的⼦树，引起不平衡的原因是49的右孩⼦的左⼦树上插⼊⼀个新的结点，因此需要右旋⼀次，然后再左旋⼀次。旋转的结点为55

代码实现

void RotateRL(Node *parent)
{Node *subR = parent->_right;Node *subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = -1;}else{assert(false);}
}
插入代码实现
bool Insert(const pair<K, V> &kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node *parent = nullptr;Node *cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}while (parent){// 平衡因子的变化if (cur == parent->_left){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0) // 之前为-1/1, cur填到了较低的一边，树高不变，不需要继续调整了!{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) // 之前为0, 当前树高+1, 可能不再平衡了,向上调整!{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 失衡了, 需要重新调平衡{if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateRL(parent);}// 1、旋转让这颗子树平衡了// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新break;}else{assert(false);}}return true;
}

● 首先和二叉搜索树一样，先找到合适的插入位置，再进行插入

● 插入后更新当前子树的平衡因子，然后根据平衡因子的特点执行不同的操作

● 如果当前子树的平衡因子是0，说明依旧平衡，不需要调平衡；如果当前子树的平衡因子是1/-1，需要继续向上找最小不平衡子树；如果当前子树的平衡因子是2/-2，说明找到了最小不平衡子树，根据平衡因子的特点，执行不同的旋转操作，只要最小不平衡子树调平衡了，整棵树就平衡了，直接跳出循环即可

AVL树测试

判断是否是平衡二叉树:

public:bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}private:bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);if (leftHeight - rightHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(leftHeight - rightHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

中序遍历

public:void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}

main函数测试

#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;#include "AVL.h"void test1()
{int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}void test2()
{int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(make_pair(e, e));}t.InOrder();cout << t.IsBalance() << endl;
}#include <vector>
void test3()
{const int N = 30;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand());cout << v.back() << endl;}AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;}cout << t.IsBalance() << endl;
}int main()
{test1();test2();test3();return 0;
}

 附AVL树实现完整代码

#pragma once
#include<assert.h>
#include <iostream>
using namespace std;//AVL树：
//1.本质还是一颗二叉搜索树
//2.增加了平衡因子，任何一颗子树的左右子树高度差绝对值不超过1template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{//三叉链AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf; //平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}while (parent) {//平衡因子的变化if (cur == parent->_left){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0) //之前为-1/1, cur填到了较低的一边，树高不变，不需要继续调整了!{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) //之前为0, 当前树高+1, 可能不再平衡了,向上调整!{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)  //失衡了, 需要重新调平衡{if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateRL(parent);}// 1、旋转让这颗子树平衡了// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;//旋转之后整棵子树的根变了, 需要重新链接Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subRL)subRL->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if(bf == 0){parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = -1;}else{assert(false);}}//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf; //subLR不可能为nullptr，因为subL的平衡因子是-1RotateL(subL);RotateR(parent);//3、更新平衡因子if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = subL->_bf = parent->_bf = 0;}else{assert(false); //在旋转前树的平衡因子就有问题}}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}private:bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);if (leftHeight - rightHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(leftHeight - rightHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

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