💢smith圆图的故事💢

• 🍈 阻抗是指器件或电路对流经它的给定频率的交流电流的抵抗能力。
• 🍈 阻抗Z=R+jX，电抗部分又分为感抗和容抗，X_L = ωL，X_C= 1/ ωC，在直角坐标系中如何表示阻抗呢？
• 🍈 例如Z=2+2j，如下图，如果将Z=200+1000j表示在同一个坐标系，是不现实的，横轴和纵轴都要延伸到特别长才行。

• 🍈 如果将纵轴上下均向右弯曲至横轴，横轴负半轴去掉，形成一个圆形，短路点和开路点如图。
• 🍈 圆心是50欧阻抗点。成为smith圆图。
  
• 🍈 在原来的直角坐标系中，与纵轴平行的线，电阻部分是一样的，在smith圆图上是等阻抗圆。
• 🍈 在原来的直角坐标系中，与横轴平行的线，电抗部分是一样的，在smith圆图上是等电抗圆。
  

💢smith圆图中的各部分来历💢

💢公式推导💢

• 🍓 反射系数
  
• 🍓 归一化阻抗
  
• 🍓 将归一化阻抗带入反射系数公式
  
  
  
• 🍓 最终得到的方程是在复平面(Γr, Γi)上，以[r/(r + 1), 0]为圆心，半径为1/(1 + r)的圆，称为等电阻圆。
• 🍓 例如，r = 1的圆，以(0.5, 0)为圆心，半径为0.5。它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配）。
  

💢等电阻圆特点💢

• 🍈 所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1, 0)。
• 🍈 代表0Ω、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。
• 🍈 无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0)
• 🍈 实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。

💢等电抗圆💢

• 🍌 最终得到的方程是在复平面(Γr, Γi)上圆心为(1, 1/x)，半径1/x的圆。
  

💢等电抗圆特点💢

• 🍋 圆周上的点表示具有相同虚部x的阻抗。
• 🍋 例如，x = 1的圆，圆以(1, 1)为圆心，半径为1。
• 🍋 所有的圆(x为常数)都包括点(1, 0)。与等阻抗不同的是，x既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。
• 🍋 所有圆的圆心都在一条经过横轴上1点的垂直线上。

💢smith圆图💢

💢smith圆图表示阻抗💢

💢smith圆图中串联元器件💢

• 🍐 在直角坐标系中表示阻抗，当串联电感时，电抗增加，电阻不变，则点上移，转换到smith圆图上，就是在等电阻圆上顺时针旋转。
• 🍐 在直角坐标系中表示阻抗，当串联电容时，电抗减小，电阻不变，则点下移，转换到smith圆图上，就是在等电阻圆上你时针旋转。
  
  

💢smith圆图导纳表示💢

• 🔥 导纳表示：Y = G + jB，其中G叫作元件的“电导”，B称“电纳”
  
  
• 🔥 Γ(y) = -Γ(z），可见，如果取定一个z值，就能通过将Γ的符号取反找到一个与(0, 0)的距离相等但在反方向的点。围绕原点旋转180°可以得到同样的结果。
  
• 🔥 阻抗圆图上的每一个点都可以通过以Γ复平面原点为中心旋转180°后得到与之对应的导纳点。于是，将整个阻抗圆图旋转180°就得到了导纳圆图。

💢smith圆图导纳表示公式推导💢

💢等电导圆和电纳圆特点💢

• 🥝 根据等电阻圆和等电抗圆旋转180度而来。
  

💢smith圆图中并联元器件💢

• 🍐 当并联电感时，电导不变，导纳减小，点沿着等电导圆逆时针旋转。
• 🍐 当并联电容时，电导不变，导纳增大，点沿着等电导圆顺时针旋转。

💢smith圆图进行阻抗匹配💢

💢L型阻抗匹配💢

• 🔥 第一个阻抗匹配元件，将阻抗匹配到50R的等电阻或者等电导圆上。
• 🔥 第二个阻抗匹配元件，将阻抗匹配到smith圆图圆心。
• 🔥 实际中电容元件更便宜一些，在同样的效果下，尽量少选择电感。

💢区域1💢

💢区域2💢

💢区域3💢

• 🔥 区域3，低电阻，低电导区，用的都是电容。
  区域3，低电阻，

💢区域4💢

• 🔥 区域4，低电阻，低电导区，用的都是电感。
  

💢smith圆图进行阻抗匹配举例💢

请设计一个L型匹配网络，在500MHz时将负载Z=10+10j欧姆匹配至50欧姆。
方案1

• 🥝 归一化，z=0.2+0.2j，如果用的圆图不是归一化的，这一步省略。
• 🥝 smith圆图标注，将TP1点进行图中的移动，TP2点从圆图上读取，Z(TP2)=10+20j，G(TP2)=0.02-0.04j，Z(TP3)=50，G(TP3)=0.02。
• 🥝 使用圆图程序可以直接读出电容电感值。
• 🥝 手动计算，从Z(TP1)=10+10j到Z(TP2)=10+20j，串联电抗为10j，2πfL=10，10/2πf=3.18nH，从G(TP2)=0.02-0.04j到G(TP3)=0.02，并联电容的电纳为0.04j，2πfc=0.04j，0.04/2πf=12.73pF。
  
  
  方案2
• 🥝 归一化，z=0.2+0.2j，如果用的圆图不是归一化的，这一步省略。
• 🥝 smith圆图标注，将TP1点进行图中的移动，TP2点从圆图上读取，Z(TP2)=10-20j，G(TP2)=0.02+0.04j，Z(TP3)=50，G(TP3)=0.02。
• 🥝 使用圆图程序可以直接读出电容电感值。
• 🥝 手动计算，从Z(TP1)=10+10j到Z(TP2)=10-20j，串联电抗为-30j，1/2πfC=30，C=10.6pF，从G(TP2)=0.02+0.04j到G(TP3)=0.02，并联电感的电纳为-0.04j，1/2πfL=0.04，L=7.96nH。
  
  
  已知源阻抗为Z_s=50+25jΩ，负载阻抗为Z_in=25-50jΩ，本征阻抗Z₀=50Ω，工作频率为2GHz，采用L型匹配网络实现功率最大传输，求所有可能得匹配方式，并确定元器件的值。
• 🥝 归一化，如果用的圆图不是归一化的，这一步省略。
• 🥝 要求实现功率最大传输，从Z_s匹配到Z_in*，共轭匹配，或者反向也可以。
• 🥝 smith圆图标注Z_s和Z_in*，并画出过这两点的等电阻圆和等电导圆。找出电阻圆和电导圆的4个交点。
• 🥝 每一个交点都能确定一种L型的构造。例如经过A点的网络为从Zs沿着等电导圆逆时针旋转到A点，然后从A点沿着等电阻圆顺时针旋转到Z_in*，其它的类似。
  

A点方案

• 🥝 从Z_s(TP1) = 50+25j，G(TP1) = 0.016-0.008j，Z_in共轭 (TP3) = 25+50j，G(TP3) = 0.008-0.016j，A点(TP2)到Z_in*是沿着等电阻圆的，所以A的阻抗实部是25，从Z_s到A点，沿着等电导圆图的，所以A的电抗实部不变，是0.016。
• 🥝 设A(TP2)点的阻抗为Z(TP2)=25+xj，则A(TP2)点的导纳为1/25+xj=(25-xj)/(625+x2)， 则25/(625+x2)=0.016，则x=30.62。
• 🥝 从Z_s(TP1) = 50+25j，G(TP1) = 0.016-0.008j到A(TP2)，Z(TP2) = 25+30.62j，G(TP2) = 0.016-0.0196j，则电纳变化(-0.0196+0.008)j=-0.0116j，1/2πfL=0.0116j，L=1/(0.011623.1421e9)=6.86nH。
• 🥝 Z(TP2) = 25+30.62j，G(TP2) = 0.016-0.0196j到Z_in共轭 (TP3) = 25+50j，G(TP3) = 0.008-0.016j，则电抗变化(50-30.62)j=19.38j，2πfL=19.38，L=19.38/(23.142*1e9)=1.543nH。
• 🥝 以上元器件值也可以从smith圆图中直接读取。
  
  

💢匹配网络的选取💢

• 🍍 是否需要提供直流地。
• 🍍 是否需要隔直。
• 🍍 是否需要某种效果的滤波。
• 🍍 设计成本和可靠性。
  

💢T和π型阻抗匹配💢

• 🍐 三个元器件可以有更多的元器件选择值，实际工程上的电容电感值有限制。L型限制较多。
• 🍐 可以选择更好的Q值，Q在圆图上的表示如下。
• 🍐 可以实现为高通，低通，以及带通的类型。