带你搞懂红黑树的插入和删除

文章目录

  • 1. 红黑树
    • 1.1 红黑树的概念
    • 1.2 红黑树的性质
    • 1.3 红黑树节点的定义
    • 1.4 红黑树的插入
      • 找到插入的位置
      • 调节平衡
    • 1.5 红黑树的删除
      • 删除节点
      • 平衡调整
    • 1.6 红黑树和AVL树的比较

1. 红黑树

1.1 红黑树的概念

红黑树也是一种二叉搜索树,但是在每一个节点上增加了一个存储位表示节点的颜色,可以是Red或者Black

通过颜色的定义,加以对任何一条从根到叶子的路径上各个节点的颜色的一些限制,确保了红黑树没有一条路径会比其他路径长出两倍,因此是接近平衡的

1.2 红黑树的性质

  1. 每个节点不是黑色就是红色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个节点是红色的,那么他的两个孩子节点是黑色的(也就是说不可能出现连续两个红色的节点)
  4. 对于每个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点
  5. 每个叶子节点都是黑色的(此处的叶子节点指的是空节点(nil))

问题:

  1. 为什么一定需要nil节点作为黑子叶子节点?

举个例子:

对于这个树来说,为了满足性质4,此时貌似每条路径上都包含相同数量的黑色节点?? 但是实际上不是!!

对于这条路径来说,实际上是只有一个黑色节点的

为了更加直观,我们将nil节点补上

就能很直观的感受到,不满足性质4,因此不是一颗二叉树

  1. 为什么满足了上面的这几个性质,就能确保红黑树没有一条路径会比其他路径长出两倍

假设每条路径上有n个黑色节点,那么最差情况下,会出现的最短的路径是路径上的所有节点都是黑色节点

可以很直观的看到,由于性质3的约束,导致红色黑色节点只能交替出现,才是最长的,因此最长的情况最多是最短情况的两倍

1.3 红黑树节点的定义

    static class RBTreeNode {private int val;private RBTreeNode left;private RBTreeNode right;private RBTreeNode parent;private Color color = Color.RED; // 节点的颜色默认为红色public RBTreeNode(int val) {this.val = val;}}

为什么要将节点的颜色默认为红色??

为了保证性质4,如果插入的节点默认为黑色,我们就需要在其他所有路径上都添加一个黑色节点,较为麻烦

1.4 红黑树的插入

找到插入的位置

public class RBTree {static class RBTreeNode {private int val;private RBTreeNode left;private RBTreeNode right;private RBTreeNode parent;private Color color = Color.RED;public RBTreeNode(int val) {this.val = val;}}private RBTreeNode root;public boolean insert(int val) {if(root == null) {root = new RBTreeNode(val);root.color = Color.BLACK;return true;}// 找到节点插入的位置(类似于二叉搜索树)RBTreeNode cur = root;RBTreeNode parent = null;while (cur != null) {if(cur.val > val) {parent = cur;cur = cur.left;}else if(cur.val < val) {parent = cur;cur = cur.right;}else {return false;}}// 插入新的节点RBTreeNode newNode = new RBTreeNode(val);if(parent.val > val) {parent.left = newNode;}else {parent.right = newNode;}newNode.parent = parent;// 下面开始调节颜色cur = newNode;}
}

调节平衡

  1. 当插入节点(cur)的双亲节点(parent)为红色,并且叔叔节点(uncle)存在且为红色

此时为了维护性质3[如果一个节点是红色的,那么他的两个孩子节点是黑色的(**也就是说不可能出现连续两个红色的节点)],**需要将parent和uncle变为黑色

但是如果此时grandparents节点上面还有节点:需要继续向上调整:

此时就会导致我们已经调整的两条路径,比其他路径多出一个黑色节点

,因此我们需要将grandparents节点变为红色,接着继续向上调整

  1. 当parent为黑色,并且uncle不存在或者为黑色

这种情况会出现在我们向上调整的路上

可以很明显的看到,左树偏高了,出现了两个红色节点连接在一块的情况,但是与情况1不同的是,此时的uncle节点是黑色的

此时我们就需要对grandparents进行右旋操作:

  1. 实际上是情况二的特殊情况,当cur是parent.right的时候:

此时需要先对parent进行左旋操作

可以发现,此时就变成情况二了接着进行情况二的讨论即可

上述的情况还存在对应的相反情况,但是处理原理一致

代码:

public boolean insert(int val) {if(root == null) {root = new RBTreeNode(val);root.color = Color.BLACK;return true;}// 找到节点插入的位置(类似于二叉搜索树)RBTreeNode cur = root;RBTreeNode parent = null;while (cur != null) {parent = cur;if(cur.val > val) {cur = cur.left;}else if(cur.val < val) {cur = cur.right;}else {return false;}}// 插入新的节点RBTreeNode newNode = new RBTreeNode(val);if(parent.val > val) {parent.left = newNode;}else {parent.right = newNode;}newNode.parent = parent;// 下面开始调节颜色cur = newNode;while (parent != null && parent.color == Color.RED) {RBTreeNode grandParent = parent.parent;// 因为parent.color == red,因此grandparent不为空if(parent == grandParent.left) {RBTreeNode uncle = grandParent.right;if(uncle != null && uncle.color == Color.RED) {// 情况1uncle.color = Color.BLACK;parent.color = Color.BLACK;grandParent.color = Color.RED;// 继续向上调整cur = grandParent;parent = cur.parent;}else {// 如果是情况3,先把情况3变成情况2if(cur == parent.right) {rotateLeft(parent);RBTreeNode tmp = cur;cur = parent;parent = tmp;}// 情况2rotateRight(grandParent);parent.color = Color.BLACK;grandParent.color = Color.RED;}}else {RBTreeNode uncle = grandParent.left;if(uncle != null && uncle.color == Color.RED) {uncle.color = Color.BLACK;parent.color = Color.BLACK;grandParent.color = Color.RED;cur = grandParent;parent = cur.parent;}else {if(parent.left == cur) {rotateRight(parent);RBTreeNode tmp = cur;cur = parent;parent = tmp;}rotateLeft(grandParent);parent.color = Color.BLACK;grandParent.color = Color.RED;}}}// 统一让根节点变黑色this.root.color = Color.BLACK;return true;}private void rotateLeft(RBTreeNode node) {RBTreeNode subR = node.right;RBTreeNode subRL = subR.left;RBTreeNode pParent = node.parent;node.parent = subR;subR.left = node;node.right = subRL;if(subRL != null) {subRL.parent = node;}if(root == node) {root = subR;root.parent = null;}else {if(pParent.left == node) {pParent.left = subR;subR.parent = pParent;}else {pParent.right = subR;subR.parent = pParent;}}}private void rotateRight(RBTreeNode node) {RBTreeNode subL = node.left;RBTreeNode subLR = subL.right;RBTreeNode pParent = node.parent;node.parent = subL;subL.right = node;node.left = subLR;if(subLR != null) {subLR.parent = node;}if(root == node) {root = subL;subL.parent = null;}else {if(pParent.left == node) {pParent.left = subL;subL.parent = pParent;}else {pParent.right = subL;subL.parent = pParent;}}}

1.5 红黑树的删除

实际上**如果先不考虑删除的节点对性质的破坏,**那么此时删除一个节点就跟普通二叉搜索树的删除是一致的

即直接删除或者间接找替换节点删除

删除节点

  1. 删除的节点左树右树都不为空 --> 替换删除

接着将替换的节点当做删除的节点,再次进行删除讨论即可

  1. 删除的节点左树右树都为空

先不考虑调整平衡的问题,那直接将remove.parent的子节点指向空即可

但是如果要删除的是根节点,需要对根节点进行重新赋值

  1. 删除的节点只有一个节点(左子节点或者右子节点),那么此时由于性质5(对于每个节点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色节点),这个子节点一定是红色节点,而删除的节点一定是黑色的节点

直接用红色节点代替要删除的节点,改变红色节点为黑色即可,连平衡都不用调整

 public BRTreeNode remove(int val) {BRTreeNode node = searchNode(val);if(node == null) {return null;// 不能删除}removeNode(node);return node;}private BRTreeNode searchNode(int val) {if(root == null) {return null;}BRTreeNode cur = root;while (cur != null) {if(cur.val > val) {cur = cur.left;}else if (cur.val < val) {cur = cur.right;}else {return cur;}}return null;}private void removeNode(BRTreeNode node) {if(node.left != null && node.right != null) {BRTreeNode replaceNode = null;// 左右数都不为空 -> 查找替换节点replaceNode = node.right;while (replaceNode.left != null) {replaceNode = replaceNode.left;}node.val = replaceNode.val;// 递归调整替罪羊removeNode(replaceNode);}else if(node.left == null && node.right == null) {if(node.parent == null) {// 左树右树都是空 -> 根节点 -> 直接置空根节点this.root = null;}else {// 叶子节点if(node.color == Color.RED) {// 如果是红色节点 -> 直接删除if(node == node.parent.left) {node.parent.left = null;}else {node.parent.right = null;}}else {// 黑色节点,要进行平衡处理// 先将节点删除,记录下兄弟节点和父亲节点,后面平衡调整要用到BRTreeNode parent = node.parent;// 双亲节点BRTreeNode brother = node == parent.left ? parent.right : parent.left;// 兄弟节点if(node == parent.left) {parent.left = null;}else {parent.right = null;}keepBalanceRemove(parent,brother);}}}else {// 只有一个子节点 -> 子节点一定是红色BRTreeNode parent = node.parent;BRTreeNode son;if(node.left != null) {son = node.left;}else {son = node.right;}son.parent = parent;if(parent != null) {if(node == parent.left) {parent.left = son;}else {parent.right = son;}}else {son.color = Color.BLACK;this.root = son;}son.color = Color.BLACK;}}

平衡调整

兄弟节点 --> brother, 父亲节点 --> parent

  1. 兄弟节点是黑色的

    a. 兄弟节点的子节点全部都是黑色的(或者全为空)

    ​ i. 父亲节点是红色的

因为parent的左边,被我们删除了一个黑色节点,因此通过上述的变化,就可以让parent右边也少一个黑色节点,同时原本经过parent的路径黑色节点数都不会变(上图所示都是1),平衡调整结束

​ ii.父亲节点是黑色的

因为parent的左边,被我们删除了一个黑色节点,因此通过上述的变化,就可以让parent右边也少一个黑色节点

但是经过parent节点的路径将减少了一个黑色节点,如果parent没有父亲节点,就不会有任何影响,平衡结束,但是如果parent是别的节点的子节点,就需要进行平衡调整

因此需要将parent作为新的删除节点,向上检索进行讨论,直至parent为null,如下所示:

​ b. brother的子节点不全为黑色

这种情况需要分为4种(实际上是2种以及其镜像的情况) 进行讨论

​ i. brother是parent的右节点,并且brother的右节点是红色

此时相当于给原本少了黑色节点的这一边添加了一个黑色节点

为什么说是交换parent和brother的节点?? 因为这里的parent颜色是任意的,上面是红色,同样可以是黑色

​ ii.brother是parent的左节点,并且brother的左节点是红色

​ 与上一种情况是镜像情况

​ iii.brother是parent的右节点,并且brother的左节点是红色

​ 通过上述操作就可以转变成我们刚刚讨论的ii情况了

​ iv.brother是parent的左节点,并且brother的右节点是红色

​ 上述情况的镜像情况:

  1. 兄弟节点是红色的

    a.右边情况

​ b. 左边情况

代码展示:

private void keepBalanceRemove(BRTreeNode parent, BRTreeNode brother) {if(parent == null) {return; // 不需要调整}else if(brother.color == Color.BLACK){// 兄弟节点是黑色if((brother.left == null && brother.right == null) || (brother.left != null && brother.left.color == Color.BLACK && brother.right != null && brother.right.color == Color.BLACK)) {// 子节点全部是黑色节点if(parent.color == Color.RED) {brother.color = Color.RED;parent.color = Color.BLACK;}else {brother.color = Color.RED;BRTreeNode tmp = parent;parent = parent.parent;if(parent != null) {brother = tmp == parent.left ? parent.right : parent.left;}keepBalanceRemove(parent,brother); // 继续向上调整}} else {// 不全为黑色if(brother == parent.left && brother.left != null && brother.left.color == Color.RED) {// 全部往左偏,兄弟节点的left为红色// 交换parent和brother的颜色Color tmpColor = parent.color;parent.color = brother.color;brother.color = tmpColor;// 将brother.left.color 变为黑色brother.left.color = Color.BLACK;// 右旋rotateRight(parent);}else if(brother == parent.right && brother.right != null && brother.right.color == Color.RED) {// 全部往右偏,兄弟节点的right为红色// 交换parent和brother的颜色Color tmpColor = parent.color;parent.color = brother.color;brother.color = tmpColor;// 将brother.right.color 变为黑色brother.right.color = Color.BLACK;// 旋rotateLeft(parent);}else if(brother == parent.left && brother.right != null && brother.right.color == Color.RED) {// 全部往左偏,兄弟节点的left为黑色// 交换brother和brother.right的颜色Color tmpColor = brother.color;brother.color = brother.right.color;brother.right.color = tmpColor;rotateLeft(brother);keepBalanceRemove(parent,parent.left);}else if(brother == parent.right && brother.left != null && brother.left.color == Color.RED) {Color tmpColor = brother.color;brother.color = brother.left.color;brother.left.color = tmpColor;rotateRight(brother);keepBalanceRemove(parent,parent.right);}}}else if(brother.color == Color.RED) {// 兄弟节点为红色if(parent.left == brother) {Color tmpColor = parent.color;parent.color = brother.color;brother.color = tmpColor;rotateRight(parent);keepBalanceRemove(parent,parent.left);}else if(brother == parent.right){Color tmpColor = parent.color;parent.color = brother.color;brother.color = tmpColor;rotateLeft(parent);keepBalanceRemove(parent,parent.right);}}}

1.6 红黑树和AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是$ O(log_2N) $

红黑树不追求绝对平衡,只是确保了最长路径的长度不超过最短路径的两倍,因此降低了插入和旋转的次数

所以在经常进行插入和删除的情况下,AVL树更优秀

实际应用有

  1. java中的TreeSet和TreeMap底层使用的就是红黑树
  2. Linux内核中的进程调度中使用了红黑树管理进程块,epoll在内核中实现的时候使用红黑树管理事件块

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