1.概述

比较排序算法

算法	最好	最坏	平均	空间	稳定	思想	注意事项
冒泡	O(n)	O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	Y	比较	最好情况需要额外判断
选择	O($n^2$)	O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	N	比较	交换次数一般少于冒泡
堆	O($nlogn$)	O($nlogn$)	O($nlogn$)	O(1)	N	选择	堆排序的辅助性较强，理解前先理解堆的数据结构
插入	O(n)	O($n^2$)	O($n^2$)	O(1)	Y	比较	插入排序对于近乎有序的数据处理速度比较快，复杂度有所下降，可以提前结束
希尔	O(nlogn)	O($n^2$)	O($nlogn$)	O(1)	N	插入	gap序列的构造有多种方式，不同方式处理的数据复杂度可能不同
归并	O($nlogn$)	O($nlogn$)	O($nlogn$)	O(n)	Y	分治	需要额外的O(n)的存储空间
快速	O($nlogn$)	O($n^2$)	O($nlogn$)	O(logn)	N	分治	快排可能存在最坏情况，需要把枢轴值选取得尽量随机化来缓解最坏情况下的时间复杂度

非比较排序算法

非比较排序算法	时间复杂度	空间复杂度	稳定性
计数排序	O(n+k)	O(n+k)	稳定
桶排序	O(n+k)	O(n+k)	稳定
基数排序	O(d*(n+k))	O(n+k)	稳定

其中

• n 是数组长度
• k 是桶长度
• d 是基数位数

稳定 vs 不稳定

说明：两个相同的数排序后没有发生改变，说明是稳定的

2.冒泡排序

• 每轮冒泡不断地比较相邻的两个元素，如果它们是逆序的，则交换它们的位置
• 下一轮冒泡，可以调整未排序的右边界，减少不必要比较

以数组 3、2、1 的冒泡排序为例，第一轮冒泡

第二轮冒泡

未排序区域内就剩一个元素，结束

public void bubbleSort(int[] nums) {for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < nums.length - 1 - i; j++) {if (nums[j] > nums[j + 1]) {int temp = nums[j];nums[j] = nums[j + 1];nums[j + 1] = temp;}}}
}

优化手段：每次循环时，若能确定更合适的右边界，则可以减少冒泡轮数

以数组 3、2、1、4、5 为例，第一轮结束后记录的 x，即为右边界

public void bubbleSort(int[] nums) {int j = nums.length - 1;while (true) {int x = 0;for (int i = 0; i < j; i++) {if (nums[i] > nums[i + 1]) {int temp = nums[i];nums[i] = nums[i + 1];nums[i + 1] = temp;x = i;}}j = x;if (j == 0) {break;}}
}

3.选择排序

• 每一轮选择，找出最大（最小）的元素，并把它交换到合适的位置

以下面的数组选择最大值为例

public void selectSort(int[] nums) {for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;}}}
}

4.堆排序

• 建立大顶堆
• 每次将堆顶元素（最大值）交换到末尾，调整堆顶元素，让它重新符合大顶堆特性

建堆

交换，下潜调整

public class HeapSort {public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{3, 2, 1, 4, 5, 7, 9, 6, 8};new HeapSort().heapSort(nums);System.out.println(Arrays.toString(nums));}//堆排序public void heapSort(int[] nums) {//1.建堆操作，符合大顶堆的特性heapify(nums, nums.length);//2.每次将堆顶元素（最大值）交换到末尾，调整堆顶元素，让它重新符合大顶堆特性for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {swap(nums, 0, i);down(nums, 0, i);//交换完了以后不符合大顶堆的特性}}//建堆private void heapify(int[] nums, int size) {//从倒数第一个非叶子节点开始以此下潜int start = (size - 2) / 2;//非叶子节点的索引for (int i = start; i >= 0; i--) {down(nums, i, size);}}//下潜private void down(int[] nums, int parent, int size) {/*** 方式一：递归实现*//*int left = 2 * parent + 1;int right = 2 * parent + 2;int max = parent;if (left < size && nums[left] > nums[max]) {max = left;}if (right < size && nums[right] > nums[max]) {max = right;}if (parent != max) {swap(nums, parent, max);down(nums, max, size);}*//*** 方式二：循环实现*/while (true) {int left = 2 * parent + 1;int right = 2 * parent + 2;int max = parent;if (left < size && nums[left] > nums[max]) {max = left;}if (right < size && nums[right] > nums[max]) {max = right;}if (parent == max) {break;}swap(nums, parent, max);parent = max;}}//交换private void swap(int[] nums, int i, int j) {int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;}
}

5.插入排序

• 将数组分为两部分 [0 … low-1] [low … a.length-1]
  • 左边 [0 … low-1] 是已排序部分
  • 右边 [low … a.length-1] 是未排序部分
• 每次从未排序区域取出 low 位置的元素, 插入到已排序区域
  

递归版

public void insertSort(int[] nums) {sort(nums, 1);
}private void sort(int[] nums, int low) {if (low == nums.length) {return;}int t = nums[low];int i = low - 1;while (i >= 0 && t < nums[i]) {nums[i + 1] = nums[i];i--;}if (i != low - 1) {nums[i + 1] = t;}sort(nums, low + 1);
}

非递归版

public void insertSort(int[] nums) {for (int low = 1; low < nums.length; low++) {int t = nums[low];int i = low - 1;while (i >= 0 && t < nums[i]) {nums[i + 1] = nums[i];i--;}if (i != low - 1) {nums[i + 1] = t;}}
}

6.希尔排序

• 简单的说，就是分组实现插入，每组元素间隙称为 gap
• 每轮排序后 gap 逐渐变小，直至 gap 为 1 完成排序
• 对插入排序的优化，让元素更快速地交换到最终位置

下图演示了 gap = 4，gap = 2，gap = 1 的三轮排序前后比较

public void shellSort(int[] nums) {for (int gap = nums.length >> 1; gap >= 1; gap = gap >> 1) {//原插入排序for (int low = gap; low < nums.length; low++) {int t = nums[low];int i = low - gap;while (i >= 0 && t < nums[i]) {nums[i + gap] = nums[i];i -= gap;}if (i != low - gap) {nums[i + gap] = t;}}}
}

7.归并排序

• 分 - 每次从中间切一刀，处理的数据少一半
• 治 - 当数据仅剩一个时可以认为有序
• 合 - 两个有序的结果，可以进行合并排序

递归实现

public class MergeSort {public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{3, 2, 1, 4, 5, 7, 9, 6, 8, 0};new MergeSort().mergeSort(nums);System.out.println(Arrays.toString(nums));}private void mergeSort(int[] nums) {int[] merge = new int[nums.length];split(nums, merge, 0, nums.length - 1);}//对数组进行切分private void split(int[] nums, int[] merge, int left, int right) {if (left == right) {//不可再切了return;}//寻找中间点，以中间点进行切分int mid = (left + right) >>> 1;//切分split(nums, merge, left, mid);split(nums, merge, mid + 1, right);merge(nums, merge, left, mid, mid + 1, right);System.arraycopy(merge, left, nums, left, right - left + 1);}/*** 合并两个有序数组** @param array 原始数组* @param merge 合并后的数组* @param i     第一个有序范围的起始位置* @param iEnd  第一个有序范围的结束位置* @param j     第二个有序范围的起始位置* @param jEnd  第二个有序范围的结束位置*/private void merge(int[] array, int[] merge, int i, int iEnd, int j, int jEnd) {int k = i;while (i <= iEnd && j <= jEnd) {if (array[i] < array[j]) {merge[k] = array[i];i++;} else {merge[k] = array[j];j++;}k++;}if (i > iEnd) {System.arraycopy(array, j, merge, k, jEnd - j + 1);}if (j > jEnd) {System.arraycopy(array, i, merge, k, iEnd - i + 1);}}
}

非递归实现

public class MergeSort {public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{3, 2, 1, 4, 5, 7, 9, 6, 8, 0};new MergeSort().mergeSort(nums);System.out.println(Arrays.toString(nums));}private void mergeSort(int[] nums) {int length = nums.length;int[] merge = new int[length];//width代表有序区间的宽度，取值是1，2，4，8for (int width = 1; width < length; width *= 2) {//[left,right]代表待合并区间的左右边界for (int left = 0; left < length; left += 2 * width) {int right = Integer.min(2 * width + left - 1, length - 1);int mid = Integer.min(left + width - 1, length - 1);merge(nums, merge, left, mid, mid + 1, right);}//合并数组System.arraycopy(merge, 0, nums, 0, length);}}/*** 合并两个有序数组** @param array 原始数组* @param merge 合并后的数组* @param i     第一个有序范围的起始位置* @param iEnd  第一个有序范围的结束位置* @param j     第二个有序范围的起始位置* @param jEnd  第二个有序范围的结束位置*/private void merge(int[] array, int[] merge, int i, int iEnd, int j, int jEnd) {int k = i;while (i <= iEnd && j <= jEnd) {if (array[i] < array[j]) {merge[k] = array[i];i++;} else {merge[k] = array[j];j++;}k++;}if (i > iEnd) {System.arraycopy(array, j, merge, k, jEnd - j + 1);}if (j > jEnd) {System.arraycopy(array, i, merge, k, iEnd - i + 1);}}
}

归并排序 + 插入排序

• 小数据量且有序度高时，插入排序效果高
• 大数据量用归并效果好
• 可以结合二者

public class MergeInsertSort {public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{3, 2, 1, 4, 5, 7, 9, 6, 8, 0};new MergeInsertSort().mergeSort(nums);System.out.println(Arrays.toString(nums));}private void mergeSort(int[] nums) {int[] merge = new int[nums.length];split(nums, merge, 0, nums.length - 1);}private void split(int[] nums, int[] merge, int left, int right) {/*** 当元素数量少时，使用插入排序* 之前是切分至剩余一个元素时再合并*/if (right - left < 32) {insertSort(nums, left, right);return;}//寻找中间点，以中间点进行切分int mid = (left + right) >>> 1;//切分split(nums, merge, left, mid);split(nums, merge, mid + 1, right);merge(nums, merge, left, mid, mid + 1, right);System.arraycopy(merge, left, nums, left, right - left + 1);}public void insertSort(int[] nums, int left, int right) {for (int low = left + 1; low <= right; low++) {int t = nums[low];int i = low - 1;while (i >= left && t < nums[i]) {nums[i + 1] = nums[i];i--;}if (i != low - 1) {nums[i + 1] = t;}}}/*** 合并两个有序数组** @param array 原始数组* @param merge 合并后的数组* @param i     第一个有序范围的起始位置* @param iEnd  第一个有序范围的结束位置* @param j     第二个有序范围的起始位置* @param jEnd  第二个有序范围的结束位置*/private void merge(int[] array, int[] merge, int i, int iEnd, int j, int jEnd) {int k = i;while (i <= iEnd && j <= jEnd) {if (array[i] < array[j]) {merge[k] = array[i];i++;} else {merge[k] = array[j];j++;}k++;}if (i > iEnd) {System.arraycopy(array, j, merge, k, jEnd - j + 1);}if (j > jEnd) {System.arraycopy(array, i, merge, k, iEnd - i + 1);}}
}

8.快速排序

单边快排（lomuto分区）

• 选择最右侧元素作为基准点
• j 找比基准点小的，i 找比基准点大的，一旦找到，二者进行交换
  • 交换时机：j 找到小的，且与 i 不相等
  • i 找到 >= 基准点元素后，不应自增
• 最后基准点与 i 交换，i 即为基准点最终索引

例如：
i 和 j 都从左边出发向右查找，i 找到比基准点4大的5，j找到比基准点小的2，停下来交换

i 找到了比基准点大的5，j 找到比基准点小的3，停下来交换

j 到达right 处结束，right 与 i 交换，一轮分区结束

public class QuickSort {public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{3, 2, 1, 4, 5, 7, 9, 6, 8, 0};new QuickSort().quickSort(nums);System.out.println(Arrays.toString(nums));}/*** 洛穆托分区方案** @param nums*/public void quickSort(int[] nums) {quick(nums, 0, nums.length - 1);}public void quick(int[] nums, int left, int right) {if (left >= right) {return;}int index = partition(nums, left, right);//返回基准点元素的索引quick(nums, left, index - 1);quick(nums, index + 1, right);}//分区操作，返回基准点元素的索引public int partition(int[] nums, int left, int right) {int value = nums[right];//基准点元素int i = left;int j = left;while (j < right) {if (nums[j] < value) {//找到比基准点小的值了if (i != j) {swap(nums, i, j);}i++;}j++;}swap(nums, i, right);return i;}public void swap(int[] nums, int i, int j) {int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;}
}

双边快排

• 选择最左侧元素作为基准点
• j 找比基准点小的，i 找比基准点大的，一旦找到，二者进行交换
  • i 从左向右
  • j 从右向左
• 最后基准点与 i 交换，i 即为基准点最终索引

例：

i 找到比基准点大的5停下来，j 找到比基准点小的1停下来（包含等于），二者交换

i 找到8，j 找到3，二者交换，i 找到7，j 找到2，二者交换

i == j，退出循环，基准点与 i 交换

public int partition(int[] nums, int left, int right) {int value = nums[left];//基准点元素int i = left;int j = right;while (i < j) {//j 从右向左找小的while (i < j && nums[j] > value) {j--;}//i 从左向右找大的while (i < j && nums[i] <= value) {i++;}//交换swap(nums, j, i);}swap(nums, left, i);return i;
}

优化

public int partition(int[] nums, int left, int right) {int index = ThreadLocalRandom.current().nextInt(right - left + 1) + left;swap(nums, index, left);int value = nums[left];//随机元素作为基准点元素int i = left;int j = right;while (i < j) {//j 从右向左找小的while (i < j && nums[j] > value) {j--;}//i 从左向右找大的while (i < j && nums[i] <= value) {i++;}//交换swap(nums, j, i);}swap(nums, left, i);return i;
}

解决数组中重复元素

public int partition(int[] nums, int left, int right) {int value = nums[left];//随机元素作为基准点元素int i = left + 1;int j = right;while (i <= j) {//j 从右向左找小的while (i <= j && nums[i] < value) {i++;}//i 从左向右找大的while (i <= j && nums[j] > value) {j--;}if (i <= j) {swap(nums, j, i);i++;j--;}}swap(nums, left, j);return j;
}

9.计数排序

1. 确定范围：确定待排序数据中的最大值和最小值。
2. 计数：创建一个计数数组，统计每个元素出现的次数。
3. 累加计数：将计数数组转化为累加数组，确定每个元素在排序后的位置。
4. 排序：将元素按照累加数组中的位置放入输出数组。

public void countSort(int[] nums) {//1.找出数组中的最大值与最小值int max = nums[0];int min = nums[0];for (int num : nums) {if (num > max) {max = num;}if (num < min) {min = num;}}//2.创建新数组，长度是 max - min + 1，用来保存原数组中的数据出现的次数int[] count = new int[max - min + 1];for (int num : nums) {count[num - min]++;}//3.循环新数组int k = 0;for (int i = 0; i < count.length; i++) {while (count[i] > 0) {nums[k++] = i + min;count[i]--;}}
}

10.桶排序

public void bucketSort(int[] nums) {//1.创建10个桶，每个桶里保存了一定的序列ArrayList<Integer>[] bucket = new ArrayList[10];//2.初始化for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {bucket[i] = new ArrayList<>();}//3.把数据放入桶中for (int num : nums) {bucket[num / 10].add(num);}int k = 0;//4.排序每个桶内元素for (ArrayList<Integer> buck : bucket) {//转数组int[] array = buck.stream().mapToInt(i -> i).toArray();insertSort(array);//插入排序//遍历数组依次放入数组中for (int v : array) {nums[k++] = v;}}
}//插入排序
public void insertSort(int[] nums) {for (int low = 1; low < nums.length; low++) {int i = low - 1;int t = nums[low];while (i >= 0 && t < nums[i]) {nums[i + 1] = nums[i];i--;}if (i != low - 1) {nums[i + 1] = t;}}
}

通用

public void bucketSort(int[] nums, int range) {//1.找出数组中的最大值与最小值int max = nums[0];int min = nums[0];for (int num : nums) {if (num > max) {max = num;}if (num < min) {min = num;}}//1.创建10个桶，每个桶里保存了一定的序列ArrayList<Integer>[] bucket = new ArrayList[(max - min) / range + 1];//2.初始化for (int i = 0; i < bucket.length; i++) {bucket[i] = new ArrayList<>();}//3.把数据放入桶中for (int num : nums) {bucket[(num - min) / range].add(num);}int k = 0;//4.排序每个桶内元素for (ArrayList<Integer> buck : bucket) {//转数组int[] array = buck.stream().mapToInt(i -> i).toArray();insertSort(array);//插入排序//遍历数组依次放入数组中for (int v : array) {nums[k++] = v;}}
}

11.基数排序

基数排序（Radix Sort）是一种非比较型的排序算法，其基本原理是将整数按位数分配，然后按每个位数进行排序。基数排序的稳定性与子排序的稳定性有关。基数排序方法有几种，最常见的是LSD（Least Significant Digit，最低位优先）和MSD（Most Significant Digit，最高位优先）。

public class RadixSort {public static void main(String[] args) {String[] phoneNumbers = new String[]{"13812345678","13912345678","13612345678","13712345678","13512345678","13412345678","15012345678","15112345678","15212345678","15712345678"};new RadixSort().radixSort(phoneNumbers, 3);System.out.println(Arrays.toString(phoneNumbers));}public void radixSort(String[] nums, int length) {//1.准备10个桶并初始化ArrayList<String>[] buckets = new ArrayList[10];for (int i = 0; i < buckets.length; i++) {buckets[i] = new ArrayList<>();}//2.依次把数据放入桶内for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {for (String num : nums) {buckets[num.charAt(i) - 48].add(num);}int k = 0;for (ArrayList<String> bucket : buckets) {for (String s : bucket) {nums[k++] = s;}bucket.clear();}}}
}

12.Java排序

Arrays.sort

JDK 7~13 中的排序实现

排序目标	条件	采用算法
int[] long[] float[] double[]	size < 47	混合插入排序 (pair)
	size < 286	双基准点快排
	有序度低	双基准点快排
	有序度高	归并排序
byte[]	size <= 29	插入排序
	size > 29	计数排序
char[] short[]	size < 47	插入排序
	size < 286	双基准点快排
	有序度低	双基准点快排
	有序度高	归并排序
	size > 3200	计数排序
Object[]	-Djava.util.Arrays.useLegacyMergeSort=true	传统归并排序
		TimSort

JDK 14~20 中的排序实现

排序目标	条件	采用算法
int[] long[] float[] double[]	size < 44 并位于最左侧	插入排序
	size < 65 并不是最左侧	混合插入排序 (pin)
	有序度低	双基准点快排
	递归次数超过 384	堆排序
	对于整个数组或非最左侧 size > 4096，有序度高	归并排序
byte[]	size <= 64	插入排序
	size > 64	计数排序
char[] short[]	size < 44	插入排序
	再大	双基准点快排
	递归次数超过 384	计数排序
	size > 1750	计数排序
Object[]	-Djava.util.Arrays.useLegacyMergeSort=true	传统归并排序
		TimSort

• 其中 TimSort 是用归并+二分插入排序的混合排序算法
• 值得注意的是从 JDK 8 开始支持 Arrays.parallelSort 并行排序
• 根据最新的提交记录来看 JDK 21 可能会引入基数排序等优化

LeetCode题目

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