T1

设二元(7,4)码的生成矩阵为：

$$G=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

(1) 求该码的所有码字；
(2) 求该码的一致校验矩阵；
(3)作出该码的标准阵列。
解：
(1)所有码字如下表：

0000000	0100101	1000111	1100010
0001110	0101011	1001001	1101100
0010011	0110110	1010100	1110001
0011101	0111000	1011010	1111111

(2)$$H=\left[\begin{array}{c}110110\\ 101101\\ 111001\end{array}\right]$$

(3)$$G=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]=\text{G’}$$

T2

设一个(8,4)系统码，其一致校验方程为：

$$\{\begin{array}{l}{c}_1=m_4+m_3+m_2\\ c_2=m_3+m_2+m_1\\ c_3=m_4+m_2+m_1\\ c_4=m_4+m_3+m_1\end{array}$$

式中，$m_1,m_2,m_3,m_4$是信息位，$c_1,c_2,c_3,c_4$是校验位。求该码的$G$ 和$H$矩阵。

解：根据：$\overline{C}=\overline{M}G$ 即$(c_8{c}_7{c}_6{c}_5{c}_4{c}_3{c}_2{c}_1)=(m_4{m}_3{m}_2{m}_1)G$ 得：

$$G=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$$

$G=[I_{k}P],H=[P^T{I}_{n-k}]$ ,所以：

$$H=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

T3

(15,5)循环码的生成多项式为：$g(x)=x^{10}+x^8+x^5+x^4+x^2+x+1$,试：
(1) 写出该码的校验多项式，
(2)写出该码的系统形式的生成矩阵和一致校验矩阵
解 :
(1)
$$h(x)=\frac{x^{15}+1}{g(x)}$$
$$h(x)=x^5+x^3+x+1$$

(2)

$$G=\left[\begin{array}{c}100001010011011\\ 010001111010110\\ 001000111101011\\ 000101001101110\\ 000010100110111\end{array}\right]$$

$$H=\left[\begin{array}{c}110101000000000\\ 011010100000000\\ 11100001000000\\ 011100001000000\\ 001110000100000\\ 110010000010000\\ 101100000001000\\ 010110000000100\\ 111110000000010\\ 101010000000001\end{array}\right]$$