人呐，天生对线性的推崇，却在内心又对线性的不爱。一开始人们总是从最简单的线性过程入手，但最终都难免因为不满足而进入指数过程。
看一个 Linux kernel 老式 O(1) 调度器的时间片计算函数的演化：
早期的 O(1) 是一个连续线性函数，但不出所料最终还是变成了双斜率。
很明显，最终用双斜率分段函数替代线性函数，放大了动态范围，意思是，优先级越高，优势感越强。注意，这里体现了规模效应，基于当前的基础优先级，与当前基础优先级成比例增加时间片，而不仅仅基于优先级绝对值。
如果更平滑一点，做成多斜率分段函数，这就是指数函数了。这里道出了本质，指数函数就是多斜率分段线性函数的平滑拟合版本，这也是微积分导数的逆版本。这个本质意味着，熵减过程的最优化版本都是基于规模而不是基于绝对值的。这决定了最快的查找算法复杂度上限就是指数过程指数求解的 logn 级别。
双斜率是一个最朴素的从线性过程到指数过程的迭代过程。
为啥会这样？每个人深有体会，如果你在跑步，跑着跑着就快了，就多了，抽烟喝酒也一样，最终不可收拾。
最简单的例子就是二分法，对应 TCP 等传输协议典型的实例就是慢启动，BIC 等。此外，还有一个更加典型的例子，即不用除法的快速除法。
有点懵是吧，这一切有什么关联？不用除法如何做除法？除法只是后人总结出来的 “算法”，即一系列步骤，而不是本质。不用九九乘法表，不列竖式算除法，如何算，我们从原始人分割食物说起。参见早期我写的一篇文章 野人如何做除法。
常规做法就是不同用被除数减去除数，扔掉最后的余数或者继续分余数，但显然这样效率太低，能不能加速呢？这就涉及到了规模效应，类似慢启动，“若仍然可行，则行为加倍”，来看野人除法，下面的算法来自我上面引用的文章：
#!/Users/zhaoya/myenv/bin/python3def div1(a, divisor, depth):res = 1if depth > 6 or a == 0:return 0while divisor <= a:res += 1a -= divisorreturn res - 1 + div1(a*10, divisor, depth + 1)/10
就像跑步，跑着跑着就快了，野人祖先们不可能满足于上面低效的步骤，“若仍然可行，则行为加倍”，这是指数的指导意义，总有野人希望让那个 while 循环更快些，于是：
#!/Users/zhaoya/myenv/bin/python3def div2(a, divisor, depth):res = 1if depth > 6:return 0elif a < divisor:return div2(a*10, divisor, depth + 1)/10b = divisorwhile 2*b <= a:res = 2*resb = 2*breturn res + div2(a - b, divisor, depth)
如果你的知识储备足够，仔细看这两个算法的迭代过程，会发现什么，这就是 Reno TCP 到 BIC TCP 的迭代过程，div1 属于遍历逼近除数，div2 属于二分逼近除数。
核心是什么，核心不是二分法，而是 “你希望在现有基础上做增量，跑起来就想更快，要有加速度”，“现有基础” 是本质，炒股赔了的也是因为这。上面的 div2，稍微改一下成为 div3，3 个放在一起看：
#!/Users/zhaoya/myenv/bin/python3cnt1, cnt2, cnt3 = 0, 0, 0
def div1(a, divisor, depth):global cnt1res = 1if depth > 5 or a == 0:return 0while divisor <= a:cnt1 += 1res += 1a -= divisorreturn res - 1 + div1(a*10, divisor, depth + 1)/10def div2(a, divisor, depth):global cnt2res = 1if depth > 6:return 0elif a < divisor:return div2(a*10, divisor, depth + 1)/10b = divisorwhile 2*b <= a:cnt2 += 1res = 2*resb = 2*breturn res + div2(a - b, divisor, depth)def div3(a, divisor, depth):global cnt3res = 1if depth > 6:return 0elif a < divisor:return div3(a*10, divisor, depth + 1)/10b = divisorwhile 5*b <= a:cnt3 += 1res = 5*resb = 5*breturn res + div3(a - b, divisor, depth)r1 = div1(10000, 13, 0)
r2 = div2(10000, 13, 0)
r3 = div3(10000, 13, 0)
print(r1, r2, r3, cnt1, cnt2, cnt3)
看一下结局：
(myenv) zhaoya@zhaoyadeMacBook-Pro pytest % ./3div.py
769.23076 769.230769 769.230769 787 28 13
结果一致，但 div2 和 div3 与 div1 相比，计算步骤少了很多，这就是优化。最终，当你深入探究二分，三分，五分有什么区别时，你会发现它们都是 log 函数，这就是 O(logn) 的由来。
回过头来看，慢启动，BIC TCP，Cubic TCP，双斜率，是不是就是一回事了？
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。
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